Производные и дифференциалы высших порядков

Если вычислить производную от первой производной , то получим вторую производную: . Производная от второй производной:  – третья производная. Производная n -го порядка – производная от производной  порядка: .

Пример: ;

.

Для дифференцируемых функций  и

;

 формула Лейбница.

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал второго порядка:

,

.

 дифференциал n -го порядка.

 

Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Пусть определена на интервале  и в точке  интервала достигает наибольшего (наименьшего) значения. Тогда, если в   существует производная, то она равна 0, т.е. .

Теорема Ролля

Если определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема на     и на концах принимает одинаковое значение ,то существует , в которой .

Теорема Лагранжа

Пусть определена и непрерывна на отрезке , дифференцируемая на . Тогда существует  , такая, что .

Теорема Коши

Пусть  и  непрерывна на  и дифференцируема на , причем . Тогда существует  , такая, что .

Правило Лопиталя

Теорема (правило) Лопиталя. Пусть функции  и определены и дифференцируемы на промежутке , ,  и существует предел . Тогда и .

Глава 9. Приложения производной