Свойство угла между прямой и плоскостью

Преподаватель Шестакова Т. А.

Группы 203, 205.

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ НА ПЕРИОД С 1.06.2020 ПО 25.06.2020

Группа203-математика-4час.

Тема: Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная.

Д. З. –Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия10-11 классы.

Стр.40-42. Составить конспект с выделением основных определений и подтверждений этих определений теоремами, примерами.

Выполнение упражнения: стр. 45 № 149, 151

Тема: Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Решение задач

Д. З. –Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия10-11 классы

Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

Напоминание основных понятий

Рассмотрим плоскость α. Точка А лежит вне плоскости α. Отрезок АН перпендикулярен плоскости α.

Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.

Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. (Рис. 1)

Рис. 1

Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной. То есть, АН < AM.

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначение: ρ(А; α) = АН. Точка Н – проекция точки А на плоскость α.

Свойство 2.

То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN. Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Пусть прямая а лежит в плоскости α (рис. 2), а точка А лежит вне плоскости α Пусть прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда:

Рис. 2

Заметим, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН.

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН – перпендикуляр, МН – проекция прямой АМ на плоскость α (рис. 3). Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т. е. угол НМА = φ₀. Обозначение:

Рис. 3

Свойство угла между прямой и плоскостью

Пусть прямая МА проходит через точку М на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠ 90°. Угол φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку М.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90

. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 4), тогда .

Рис. 4

 

Решение задач:

К одной плоскости проведены два перпендикуляра длиной 12см и 19 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно 20 см. Найти расстояние между другими концами перпендикуляров.

2.Длина перпендикуляра равна 6 см, а угол между наклонной и перпендикуляром равен 60°. Найдите длину проекции и наклонной.

3.Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18 и 2см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3: 4. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

4.В треугольнике АВС АС = СВ = 8 см, < АСВ = 120°. Точка М удалена от плоскости АВС на расстояние, равное 12 см, и находиться на равном расстоянии от вершин треугольника АВС. Найдите угол между МА и плоскостью АВС.