Первообразная и неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование

Основная задача дифференциального исчисления – отыскание производной заданной функции. Однако имеется обратная задача: по данной   найти , производная которой равна , .

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке равна нулю, является константой.

 по т. Лагранжа

, .

Теорема. Если   – первообразная для функции  на некотором промежутке X, то любая другая первообразная имеет вид .

Определение. Если функция – первообразная для , то множество функций   называется неопределенным интегралом от  и обозначается: , где  – подынтегральная функция,   – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределённого интеграла:

Табличные интегралы:

Непосредственное интегрирование

Вычисление интеграла путем использования таблиц и основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Примеры.

.

.

 

Метод подстановки. Интегрирование по частям

Если известно, что .

Это вытекает из правила дифференцирования сложной функции.

Примеры:

.

.

.

 

Интегрирование по частям

Нет формулы, выражающий интеграл от произведения функций через интеграл от сомножителей. Интеграл от элементарной функции не всегда является элементарной функцией.

Пусть имеются дифференцируемые функции   и :  или, интегрируя, получим: – формула интегрирования по частям.

При использовании формулы интегрирования по частям необходимо выбрать функцию, тогда оставшаяся часть будет дифференциалом функции , т.е. . Можно указать следующие случаи:

1. .

В этом случае последовательное дифференцирование уменьшает показатель  до нуля. Наиболее простой случай, когда .

2.

В этом случае дифференцирование указанных функций обычно упрощает нахождение интеграла.

Примеры:

1)

2.)

3.)

4.)

, тогда

.