Интервалы монотонности. Признаки экстремума

Множество точек координатной плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком данной функции.

По производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции. Напомним, что называется возрастающей в некотором интервале, если для любых и из этого интервала из неравенства следует неравенство

Убывающей: .

Теорема. Пусть определена на отрезке и имеет непрерывную производную внутри отрезка. Чтобы была возрастающей (убывающей), достаточно , .

Рассмотрим возрастание. Возьмем два значения и из и применим формулу Лагранжа: . Так как , и , то – возрастающая. Аналогично – убывающая.

Геометрический смысл – производная – угловой коэффициент касательной. Значение коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз.

Экстремумы функции

Функция имеет в т. максимум, если , где – достаточно малая по величине. Функция имеет в т. минимум, если .

Если в т. имеет max или min, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если существует конечная производная, то по теореме Ферма .

Экстремумы необходимо искать в тех точках, где или не существует. Такие точки называются стационарными (критическими).

Если допустить, что в отдельных точках нет конечной производной, то следует отнести к критическим и эти точки. Критические точки следует проверить, в них необязательно экстремум (, нет экстремума).

Первый достаточный признак экстремума.

Пусть т. является критической для , а непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки ). Тогда возможно:

1) при и при , то есть производная при переходе через т. меняет знак с «+» на «–». Тогда при возрастает, а при (в данном интервале) убывает, значит, значение будет наибольшим – в т. имеет max.

2) при , при , то есть с «–» на «+» – min.

3) не меняет знак при переходе через . Тогда либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть – критическая точка и , имеет вторую производную в интервале и в самой т. . Тогда, если – max, – min.

По определению производной: . Если , то дробь > 0. При знаменатель <0, ( убывает) и при знаменатель >0 (возрастает) – min по первому признаку. Аналогично – max, если .

Исследования по второму признаку производят редко.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если непрерывна на отрезке , то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает max и min значения. Этих значений достигает или в критических точках или на концах отрезка.