Рассмотрим рациональную функцию вида , где и – многочлены. Многочлен – это выражение вида .
Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то дробь называется неправильной и необходимо выполнить деление:
, где – многочлен.
Пример
а) .
б) .
Далее будем рассматривать правильные дроби (т.е. старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя), т. к. интегрирование функции – табличное. Если – корни уравнения , то многочлен можно представить в виде , где – коэффициент при старшей степени многочлена. Выражения называют линейным множителем.
Среди корней могут быть и комплексные, в этом случае элементарными множителями будут выражения . Кроме того, корни могут быть кратными (одинаковыми). Окончательно имеем: где .
В высшей алгебре доказывается, что правильную дробь можно представить в виде простейших дробей: Это разложение рациональной функции на простейшие дроби.
10.4. Интегрирование простейших дробей
Чтобы определить числа , умножим обе части разложения на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части равенства.
|
|
Пример: ;
Алгоритм.
1.Выделить правильную дробь.
2.Знаменатель разложить на элементарные множители.
3.Найти коэффициенты в разложении на простейшие дроби.
После этого задача сводится к нахождению интегралов 4 типов:
.
Вычислим интеграл типа III.
Выделим в знаменателе полный квадрат:
. Используем подстановку, .
.
Пример:
.
Вычисление интеграла типа IV.
В числителе записывается производная знаменателя: и
, где .
Интегралы вида вычисляются по рекуррентной формуле:
(или формула приведения). Зная, что можно вычислить
Пример.
; по формуле приведения:
, окончательно,