Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена и непрерывна при всех .

Тогда несобственный интеграл . Если предел существует, то интеграл существует или сходится, если предел не существует, то интеграл расходится (не существует), т.е. не имеет конечного значения.

Геометрический смысл: выражает площадь бесконечной области, заключенной между линиями .

Аналогично, .

Для последнего равенства должны существовать оба интеграла, с – число.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл: .

Пример 2. При каких значениях параметра α интеграл сходится и при каких расходится?

Пример 3.

Если требуется установить, сходится ли данный интеграл или расходится, удобно применять теоремы:

1. Если для всех выполняется неравенство и если сходится, то тоже сходится и .

2. Если для всех : причем расходится, то и расходится.

3. Если сходится, то и сходится.

Пример 4. Сходится ли ?

При , поэтому (т.1) тоже сходится и < 1.

Пример 5. Исследовать .

. Но – расходится, поэтому рассматриваемый интеграл тоже расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость.

Подынтегральная функция знакопеременная. Но , значит, интеграл сходится, и по т.3 сходится и .

Несобственные интегралы от функций, имеющих разрыв

Пусть функция определена и непрерывна при , а при функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об , как о пределе интегральной суммы, поскольку этот предел может не существовать.