2020-06-29
84
Пусть функция 
определена и непрерывна при всех 
.
Тогда несобственный интеграл 
. Если предел существует, то интеграл существует или сходится, если предел не существует, то интеграл расходится (не существует), т.е. не имеет конечного значения.
Геометрический смысл: 
выражает площадь бесконечной области, заключенной между линиями 
.
Аналогично, 
.
Для последнего равенства должны существовать оба интеграла, с – число.
Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл: 
.
y
0 
.
Пример 2. При каких значениях параметра α интеграл 
сходится и при каких расходится?
.
Пример 3. 
.
Если требуется установить, сходится ли данный интеграл или расходится, удобно применять теоремы:
1. Если для всех 
выполняется неравенство 
и если 
сходится, то 
тоже сходится и 
.
2. Если для всех : 
причем 
расходится, то и 
расходится.
3. Если 
сходится, то и 
сходится.
Пример 4. Сходится ли 
?
При 
, поэтому (т.1) 
тоже сходится и < 1.
Пример 5. Исследовать 
.
. Но 
– расходится, поэтому рассматриваемый интеграл тоже расходится.
Пример 6. Исследовать 
на сходимость.
Подынтегральная функция знакопеременная. 
Но 
, значит, интеграл 
сходится, и по т.3 сходится и 
.
Несобственные интегралы от функций, имеющих разрыв
Пусть функция 
определена и непрерывна при 
, а при 
функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об 
, как о пределе интегральной суммы, поскольку этот предел может не существовать.
Интеграл 
Если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.
Если функция имеет разрыв при 
, то 
– аналогично, если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.
Если 
имеет разрыв в точке 
внутри отрезка 
, то 
– существует, если существуют оба интеграла в правой части.
Пример 1. Исследовать сходимость 
.
– сходится.
Пример 2. 
– интеграл расходится.
Геометрические приложения определенного интеграла
