2020-06-29
92
Пусть 
– непрерывная на отрезке 
неотрицательная функция.
Определим площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной прямыми 
и графиком функции 
Разобьем на n частей точками 
, выберем на каждом из частичных отрезков 
по произвольной точке 
определим значение функции 
(в этих точках) и составим сумму: 
.
Эта сумма равна сумме площадей 
прямоугольников. Устремим 
Если при этом 
, и 
не зависит от способа разбиения и выбора точек , то величина называется площадью данной криволинейной трапеции: 
.
Каждая криволинейная трапеция, соответствующая непрерывной функции 
, имеет площадь .
Указанный предел называется определённым интегралом и обозначается: 
.
Числа 
и 
называются нижним 
и верхним 
пределами интегрирования, 
– подынтегральная функция, 
– переменная интегрирования.
Определенный интеграл – это число.
Вычисление определённого интеграла по определению можно осуществить с помощью компьютера, однако на практике используют формулу Ньютона – Лейбница.
Пусть задана непрерывная на 
функция 
и пусть 
– ее первообразная. Тогда 
или 
– определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом: 
– функция 
.
Если 
– первообразная для 
, то 
и по формуле Ньютона – Лейбница: 
. Дифференцируем: 
– производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции.
Свойства определённого интеграла
1. 
– не зависит от значения переменной интегрирования.
2. 
.
3. 
.
4.Для любых чисел a, b, c: 
.
5. 
.
6. 
.
7. Если 
8. 
– теорема о среднем.
Пример: 
.
Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
Пусть 
и 
– две непрерывные дифференцируемые функции на отрезке 
, тогда
. Проинтегрируем равенство от a до b:
, имеем: 
– формула интегрирования по частям.
Пример. 
Замена переменнойвопределённом интеграле
Пусть дан интеграл 
, где 
непрерывная функция на 
. Введем новую переменную по формуле 
. Если 
и 
непрерывны на 
непрерывна на 
, то: 
.
