Пусть – непрерывная на отрезке неотрицательная функция.
Определим площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной прямыми и графиком функции
Разобьем на n частей точками , выберем на каждом из частичных отрезков по произвольной точке определим значение функции (в этих точках) и составим сумму: .
Эта сумма равна сумме площадей прямоугольников. Устремим Если при этом , и не зависит от способа разбиения и выбора точек , то величина называется площадью данной криволинейной трапеции: .
Каждая криволинейная трапеция, соответствующая непрерывной функции , имеет площадь .
Указанный предел называется определённым интегралом и обозначается: .
Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования.
Определенный интеграл – это число.
Вычисление определённого интеграла по определению можно осуществить с помощью компьютера, однако на практике используют формулу Ньютона – Лейбница.
Пусть задана непрерывная на функция и пусть – ее первообразная. Тогда или – определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом: – функция .
Если – первообразная для , то и по формуле Ньютона – Лейбница: . Дифференцируем: – производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции.
Свойства определённого интеграла
1. – не зависит от значения переменной интегрирования.
2. .
3. .
4.Для любых чисел a, b, c: .
5. .
6. .
7. Если
8. – теорема о среднем.
Пример: .
Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
Пусть и – две непрерывные дифференцируемые функции на отрезке , тогда
. Проинтегрируем равенство от a до b:
, имеем: – формула интегрирования по частям.
Пример.
Замена переменнойвопределённом интеграле
Пусть дан интеграл , где непрерывная функция на . Введем новую переменную по формуле . Если и непрерывны на непрерывна на , то: .