Коэффициенты Эйнштейна

Одной из важнейших задач квантовой теории излучения является вычисление вероятностей перехода микросистем с одного квантового уровня (с энергией ) на другой (с энергией ), т.к. излучение и поглощение фотонов атомом связано с переходом электронов из одного энергетического состояния в другое. Для простоты рассмотрим атомы, имеющие только два энергетических состояния i и j ().

 

Рис.10.1 Спонтанные и индуцированные переходы в атоме

 

В 1916 г. А. Эйнштейн показал, что в атоме должны существовать спонтанные (самопроизвольные) и индуцированные (вынужденные) переходы электронов (рис. 10.1).

Спонтанные переходы происходят без какого-либо взаимодействия с внешним полем излучения (кроме вакуумного). Этот переход характеризуется коэффициентом Эйнштейна , который представляет собой вероятность спонтанного перехода в единицу времени. Самопроизвольный переход возможен только с верхнего уровня на нижний. При этом испускается квант энергии , соответствующий частоте . Вероятность спонтанного излучения  связана с соответствующей мощностью излучения  соотношением

,

где  – число атомов с энергией  (или населенность i -го уровня),

 – число спонтанных переходов в единицу времени с i -го уровня на j -й,

 – энергия, которую теряет атом при спонтанном переходе из одного энергетического состояния в другое.

Очевидно, что  определяет число спонтанных переходов в единицу времени с i -го уровня на j -й, приходящихся на одну возбужденную частицу с энергией , размерность этого коэффициента  ().

Поскольку спонтанные переходы происходят независимо от внешнего электромагнитного поля, фазы спонтанного излучения оказываются не связанными между собой, произвольными. Поэтому спонтанное излучение системы слабо взаимодействующих микрочастиц является некогерентным. Некогерентность спонтанного излучения по классической теории связана с тем, что акты такого излучения происходят в различных пространственно разделенных микрочастицах в разные моменты времени, и между фазами волн, испускаемых различными микрочастицами нет никакой закономерной связи. Спонтанное излучение является шумом в квантовых системах.

Под влиянием внешнего излучения возможны также вынужденные переходы как с i -го уровня на j -й (с испусканием фотона с энергией ), так и с j -го на i -й (с поглощением фотона). Вынужденный переход характеризуется коэффициентом Эйнштейна , который представляет собой вероятность такого перехода () в единицу времени, отнесенную к единице спектральной плотности внешнего излучения, вызвавшего этот переход, размерность коэффициента . Коэффициент  связан с соответствующей мощностью индуцированного излучения соотношением

 

,

где  – плотность внешнего электромагнитного излучения,

 – число индуцированных переходов в единицу времени с i -го уровня на j -й.

В противоположность спонтанному излучению индуцированное излучение, вызванное внешним электромагнитным полем, оказывается когерентным с этим полем, т.е. электромагнитное излучение, испускаемое при индуцированных переходах, не только имеет с внешним полем одинаковую частоту, но и сохраняет с ним непрерывность по фазе. Именно когерентность индуцированного излучения с возбуждающим полем приводит к тому, что при прохождении света через среду, содержащую достаточное количество возбужденных микрочастиц, световой поток по мере прохождения непрерывно увеличивает свою интенсивность, сохраняя когерентность. Индуцированное излучение сохраняет также направление распространения и поляризацию внешнего излучения, под действием которого оно, возникает. Т.е. индуцированный фотон полностью подобен фотону, вызвавшему переход.

Аналогично можно получить выражение для мощности индуцированного поглощенного излучения:

Эйнштейн постулировал, что излучение, излучаемое и поглощаемое при переходах между различными энергетическими состояниями должно также подчиняться закону излучения Планка, когда микрочастица находятся в тепловом равновесии с окружающей средой при той же температуре. На основании этого предположения можно найти соотношения для коэффициентов ,  и . Установим связь между коэффициентами Эйнштейна ,  и .

Число атомов в состояниях i и j при температуре T согласно закону Больцмана равно

        ,  ,

где  и  – степени вырождения (или статистические веса) i -го и j -го энергетических уровней; величины  и , отнесенные к единице объема среды, называются населенностями энергетических уровней.

Приравнивая мощности излучения и поглощения за счет переходов  и , записываем условие статистического равновесия

 

или

                                           .                                  (10.4)

 

Выражая из (10.4) плотность излучения , получаем

                                     .                            (10.5)

Сравнивая выражение (10.5) с формулой Планка (10.1) для спектральной плотности излучения

,

получаем:

                                                  ,                                         (10.6)

                                                    .                                           (10.7)

 

Можно показать, что отношение вероятностей вынужденного и спонтанного излучения равно

 

.

 

Из этого соотношения следует, что для частот  малых по сравнению с  (при ) скорость вынужденного теплового излучения значительно больше скорости спонтанного излучения, а для частот, больших по сравнению с  () скорость спонтанного излучения превосходит скорость вынужденного излучения.

Для трех коэффициентов ,  и  имеем только два уравнения. Поэтому необходимо найти еще уравнение, связывающее эти коэффициенты или экспериментально определить один из коэффициентов, а затем по этим формулам вычислить два других коэффициента.

Если воспользоваться квантовым описанием поля и теорией возмущения, то можно получить аналитическое выражение для коэффициентов Эйнштейна, например для , который характеризует спонтанный переход, вызываемый взаимодействием электрона с полем вакуумных (нерожденных) фотонов. В соответствии с квантовой теорией имеем следующее выражение для :

                              ,                               (10.8)

где  – матричный элемент дипольного момента,

 – матричный элемент перехода,

 – сопряженная волновая функция, соответствующая состоянию i,

 – волновая функция, описывающая состояние j,

e – заряд электрона,

h – постоянная Планка,

c – скорость света,

r – радиус-вектор, определяющий положение электрона в атоме,

V – объем, в котором расположены электроны (объем, соответствующий атому).

В свою очередь матричный элемент выражается через соответствующие компоненты:

 

,

 

где ,

Учитывая выражение (10.8) можно найти по (10.6) и (10.7) коэффициенты Эйнштейна  и . Коэффициенты ,  и  принято называть коэффициентами Эйнштейна для изотропного излучения. Есть еще дифференциальные коэффициенты Эйнштейна ,  и , характеризующие вероятности соответствующих переходов в заданном направлении.