Определенный интеграл и его непосредственное интегрирование

Пусть функция  определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на  частей точками , на каждом частичном отрезке  выберем произвольно точку  и обозначим через  длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой функции  на отрезке  называется сумма вида

.

Определенным интегралом функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю:

.

 

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла функции  в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница:

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы.

Отметим, что определенный интеграл равен числу, в отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций.

Свойства определенных интегралов:

  1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , .

Пример 1.1. Вычислить следующие определенные интегралы, используя формулу Ньютона - Лейбница:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Решение. 1) Используя формулу  таблицы неопределенных интегралов, получим:

.

2) Переведём корень в степень и используем формулу примера 1).

.

3) Используя формулу  таблицы неопределенных интегралов, а также, свойство логарифмов , получим:

.

4) Раскрывая скобки и используя формулу примера 1), получим:

.

5) Возведем выражение в квадрат, приведем подобные слагаемые, воспользуемся формулой  и формулой примера 1).

.

6) Разделим почленно числитель на знаменатель, переведем один из корней в степень, воспользуемся формулой  и формулой примера 1).

.

7) Выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся формулой  таблицы неопределенных интегралов.

,

.

8) Используя свойство  неопределенных интегралов и формулу примера 6), получим:

.

9) Используя свойство примера 8) и формулу  таблицы неопределенных интегралов, получим:

.

10) Используя тригонометрическую формулу  и формулу  таблицы неопределенных интегралов, получим:

.