Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и , которые находятся из равенств и .

Таким образом, имеем

Отличие от замены переменной в неопределенном интеграле состоит в том, что получив искомую первообразную, не нужно возвращаться к старой переменной.

Пример 2.1. Вычислить следующие определенные интегралы, используя метод замены переменной:

1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) За принимаем самую сложную функцию; если стоит степень – основание степени, если стоит корень – подкоренное выражение.

2) При вычислении используем свойство 2) определенных интегралов.

3) .

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции и и их производные и непрерывны на отрезке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример 3.1. Вычислить следующие определенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. 1) Если подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из функций , , , , , то в качестве функции выбирается эта функция.

2) Если подынтегральная функция имеет вид , , , где - многочлен переменной , то в качестве функции выбирается , тем самым понижается степень многочлена в новом интеграле.