Примеры работы с системой

Пусть имеется игра G (3´4), представленная в матричном виде (табл. 7.1).

После ввода матрицы, выбора метода решения (метода Лагранжа) и активизации процедуры поиска решения главное окно системы будет иметь вид, представленный на рис. 7.3.

Таблица 7.1

Bj Ai	B 1	B 2	B 3
A 1	7	2	9
A 2	2	9	0
A 3	9	0	11

 

Рис. 7.3. Вид главного окна с полученными результатами

Ход решения и полученные результаты отображены в окне Процесс поиска решения:

Поиск решения методом Лагранжа.

Поиск и удаление доминируемых и дублируемых стратегий.

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях.

Методом Лагранжа найдено решение в смешанных стратегиях:

p = (0,250000; 0,500000; 0,250000)

q = (0,250000; 0,500000; 0,250000)

Цена игры: V = 5,000000.

В случае выбора для решения симплекс-метода окно Процесс поиска решения примет следующий вид:

Поиск решения симплекс-методом.

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях.

Симплекс-методом найдено решение в смешанных стратегиях:

p = (0,250000; 0,500000; 0,250000)

q = (0,250000; 0,500000; 0,250000)

Цена игры V = 5,000000.

В случае выбора для решения итерационного метода Брауна-Робинсона окно Процесс поиска решения примет следующий вид:

Поиск решения методом Брауна-Робинсона.

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях…

Методом Брауна-Робинсона найдено решение в смешанных стратегиях:

p = (0,249000; 0,500000; 0,251000)

q = (0,249000; 0,500000; 0,251000)

Цена игры V = 5,000000.

Результаты последних итераций в табличном виде будут представлены в специальном окне (рис. 7.4).

 

Рис. 7.4. Окно с результатами последних итераций

Рассмотрим еще один пример для игры G (5´5)при наличии дублируемых и доминируемых стратегий. Вид главного окна с полученными результатами при использовании метода Лагранжа представлен на рис. 7.5.

 

Рис. 7.5. Вид главного окна с полученными результатами для метода Лагранжа

В окне Процесс поиска решения будет выведена следующая информация:

Поиск решения методом Лагранжа.

Поиск и удаление доминируемых и дублируемых стратегий:

Стратегия В1 доминирует над стратегией B 2!

Стратегия В1 доминирует над стратегией B 5!

Стратегия В3 доминирует над стратегией B 4!

Стратегия В3 доминирует над стратегией B 5!

Стратегия В4 доминирует над стратегией B 5!

Удаление стратегии B 2!

Удаление стратегии B 5!

Удаление стратегии B 4!

Стратегия A 1 дублирует стратегию A 3!

Стратегия A 1 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 2 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 2 дублирует стратегию A 5!

Стратегия A 3 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 5 доминирует над стратегией A 4!

Удаление стратегии A 3!

Удаление стратегии A 4!

Удаление стратегии A 5!

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях.

Методом Лагранжа найдено решение в смешанных стратегиях:

S_a = (0,600000; 0,400000; 0,000000; 0,000000; 0,000000)

S_b = (0,800000; 0,000000; 0,200000; 0,000000; 0,000000)

Цена игры: V = 3,599999.

При использовании симплекс метода соответственно получим:

Поиск решения симплекс-методом.

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях.

Симплекс методом найдено решение в смешанных стратегиях:

S_a = (0,600000; 0,400000; 0,000000; 0,000000; 0,000000)

S_b = (0,800000; 0,000000; 0,200000; 0,000000; 0,000000)

Цена игры V = 3,599999.

При использовании метода Брауна-Робинсона будет выдана следующая информация:

Поиск решения методом Брауна-Робинсона.

Поиск и удаление доминируемых и дублирующих стратегий:

Стратегия В1 доминирует над стратегией B 2!

Стратегия В1 доминирует над стратегией B 5!

Стратегия В3 доминирует над стратегией B 4!

Стратегия В3 доминирует над стратегией B 5!

Стратегия В4 доминирует над стратегией B 5!

Удаление стратегии B 2!

Удаление стратегии B 5!

Удаление стратегии B 4!

Стратегия A 1 дублирует стратегию A 3!

Стратегия A 1 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 2 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 2 дублирует стратегию A 5!

Стратегия A 3 доминирует над стратегией A 4!

Стратегия A 5 доминирует над стратегией A 4!

Удаление стратегии A 3!

Удаление стратегии A 4!

Удаление стратегии A 5!

Поиск седловой точки:

Седловая точка не найдена.

Поиск решения в смешанных стратегиях.

Методом Брауна-Робинсона найдено решение в смешанных стратегиях:

S_a = (0,600000; 0,400000; 0,000000; 0,000000; 0,000000)

S_b = (0,800000; 0,000000; 0,200000; 0,000000; 0,000000)

Цена игры V = 3,599500.

Фрагмент таблица значений для последних 100 итераций представлен на рис. 7.6.

 

Рис. 7.6. Окно с результатами последних итераций

Практический пример

Снова вернемся к уже рассмотренной ранее (см. п. 3.4) задаче о конкурсе на реализацию двух проектов при участии конструкторских бюро КБ1 и КБ2. Напомним, что у КБ1 (игрока A) имеется 5 стратегий: A ₁=(4; 0), A ₂=(3; 1), A ₃=(2; 2), A ₄=(1; 3), A ₅=(0; 4); у КБ2 (игрока B) – 4 стратегии: B ₁=(3; 0), B ₂=(2; 1), B ₃=(1; 2), B ₄=(0; 3).

Пусть a =16, b =2(т.е. финансированиепервого проекта существенно превосходит финансирование второго проекта).

После приведения данной игры G (5´4)к антагонистической посредством вычитания из выигрышей игрока A средней величины финансирования обоих проектов (a + b) / 2=9, получим ее матричное представление в виде табл. 7.2.

 Таблица 7.2

Bj Ai	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	8	7	7	7
A 2	1	8	7	7
A 3	–7	1	8	7
A 4	–7	–7	1	8
A 5	–7	–7	–7	1

 

Далее, после проверки на отсутствие седловой точки и упрощения матрицы игры путем удаления доминируемой стратегии A ₅, получим игру G (4´4), представленную табл.7.3.

 Таблица 7.3

Bj Ai	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	8	7	7	7
A 2	1	8	7	7
A 3	–7	1	8	7
A 4	–7	–7	1	8

 

В табл. 7.4 приведены результаты, полученные программной системой MatrixGames при использовании приближенного метода Брауна-Робинсона (при задании различного числа итераций) и точного метода Лагранжа (последняя строка таблицы) с округлением результата до трех знаков после запятой.

Из таблицы видно, что некоторая стабилизация для итерационного метода (особенно относительно величины V ^*) наступает при числе итераций более 10000.

Таблица 7.4

Число итераций									V*
100	0.99	0.01	0	0	0.06	0.03	0.93	0	7.03
200	0,885	0,110	0,005	0	0,045	0,240	0,485	0,230	7,027
500	0,954	0,044	0,002	0	0,018	0,096	0,194	0,692	7,009
1000	0,977	0,022	0,001	0	0,009	0,048	0,097	0,846	7,006
3000	0,905	0,089	0,006	0,003	0,003	0,023	0,175	0,798	7,002
10000	0,895	0,093	0,013	0,001	0,004	0,023	0,180	0,793	7,003
100000	0,879	0,107	0,013	0,002	0,002	0,014	0,111	0,873	7,002
1000000	0,876	0,109	0,013	0,002	0,002	0,013	0,110	0,875	7,002
Точный метод	0,875	0,110	0,013	0,002	0,002	0,013	0,110	0,875	7,002

 

Вернёмся теперь к исходной задаче. Вычеркнутая стратегия A ₅ будет присутствовать в итоговом результате с вероятностью 0:

S_A ^*=(0,875;0,110;0,013;0,002;0);

S_B ^*=(0,002;0,013;0,110;0,875);

V^* =7,002.

Если теперь вернуться к начальной ситуации с возможным финансированием КБ1 и КБ2 и округлить результаты, то получим:

S_A =(0,9;0,1;0,0;0,0;0,0);

S_B =(0,0;0,0;0,1;0,9);

V_A =16,0;

V_B = 2,0,

Таким образом, КБ1 рекомендуется все усилия направить на выполнение первого проекта, возможно, выделив один отдел на выполнение второго проекта, а КБ2 – наоборот, все усилия направить на выполнение второго проекта, возможно, выделив один отдел на выполнение первого.