Тема 7. Равномерный и показательный законы распределения

1. Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид

Это значит, что f(x) сохраняет постоянное значение  на [ a; b ].

Функция распределения равномерного закона

Вероятность попадания в интервал (x₁; x₂)  непрерывной случайной равномерно распределенной величины X  

P(x₁<X<x₂) = .

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равномерного распределения:

2. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

где l - постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона

Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону,

P(a<X<b) =

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения:

Пример 19. (Варианты 2,3)

Цена деления прибора равна 0,1. Показания прибора округляются до ближайшего целого. Найти: а) вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02; б) M(X), D(X), s(X), если случайная величина X – ошибка округления.

    Решение: Ошибку округления рассматриваем как случайную величину X, равномерно распределенную между двумя соседними целыми делениями.

Тогда плотность распределения  где b-a – длина интервала распределения значений X; вне этого интервала   f(x)=0.  

b-a =0,1 (цена деления прибора), поэтому

Ошибка отсчета превысит 0,02, если X попадает в интервал (0,02;0,08).

  P(x₁<X<x₂) =  или P(x₁<X<x₂) = .

P (0,02< X <0,08)=

Математическое ожидание X (считаем a =0, b =0,1)

.

    Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

     Пример 20. (Варианты 1,4,5,6)

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 минут. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

    Решение: Время ожидания пассажирарассматриваем как случайную величину X, равномерно распределенную между приходами двух автобусов.

По условию задачи длина интервала распределения значений X  b-a =7,

здесь b=7, a =0.

 а) Время ожидания будет менее двух минут, если X попадает в интервал (5;7).

  P(x₁<X<x₂) = ; P (5< X <7)=

б) Время ожидания будет не менее трех минут, если X попадает в интервал (0;4).

P (0< X <4)=

в) Математическое ожидание .

Среднее квадратическое отклонение

    Пример 21. (Варианты 7, 8, 9, 10)

Показательное распределение задано при плотностью        f(x)=5e ^-5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1, 4); в) найти вероятность того, что в результате испытания ; г) вычислить M(X), D(X), s(X).

    Решение:

  В данной задаче l=5

а)

б)

в) , значит a =2, b = , т. е.

(т.к. )

г) для показательного распределения