Нормальным называется распределение вероятности непрерывнойслучайной величины X, плотность которого имеет вид
,
где a – математическое ожидание, s – среднее квадратическое отклонение.
Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b),
где - интегральная функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа d, при a =0
Пример 22. (Все варианты)
Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
|
|
е) найти симметричный относительно среднего интервала, в котором будет находиться X с вероятностью 0,9973 и вероятностью 0,95.
Решение:
а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
где а – математическое ожидание (среднее значение) X;
s – среднее квадратическое отклонение.
В данном случае а =20, s=0,2, и получаем
.
б) Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть в интервал (x1; x2) определяется равенством:
P(x1<X<x2)=
где - интегральная функция Лапласа.
P (19,7< X <20,3)=
По приложению (таблица 2) находим
Тогда P (19,7< X <20,3)=2× 0,433=0,866.
в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа d,
По приложению (таблица 2) находим: .
Тогда
г) Вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,382. Отсюда следует, что в среднем 38,2 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,2%.
д) Для нормального закона распределения выполняется соотношение .
По данным задачи (см. пункт г), следовательно,
.
По приложению (таблица 2) находим .
мм.
е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения a =20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству или .
Рассмотрим случай, когда вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,9973. Тогда Но для нормального распределения имеет место так называемое «правило 3 »: Отсюда d=3σ=3×0,2=0,6.
Тогда искомый интервал: (20-0,6; 20+0,6) или (19,4; 20,6).
Рассмотрим теперь случай, когда вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95. Тогда но
|
|
По приложению (таблица 2) находим =1,96,
т. е.
Искомый интервал (20-0,392; 20+0,392) или (19,608; 20,392).
Приложение
Таблица 1. Значения функции .
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0,0 | 0,3989 | 3989 | 3989 | 3988 | 39986 | 3984 | 3982 | 3980 | 3977 | 3973 |
0,1 | 0,3970 | 3965 | 3961 | 3956 | 3951 | 3945 | 3939 | 3932 | 3925 | 3918 |
0,2 | 0,3910 | 3902 | 3894 | 3885 | 3876 | 3867 | 3857 | 3847 | 3836 | 3825 |
0,3 | 0,3814 | 3802 | 3790 | 3778 | 3765 | 3752 | 3739 | 3726 | 3712 | 3697 |
0,4 | 0,3683 | 3668 | 3653 | 3637 | 3621 | 3605 | 3589 | 3572 | 3555 | 3538 |
0,5 | 0,3521 | 3503 | 3485 | 3467 | 3448 | 3429 | 3410 | 3391 | 3372 | 3352 |
0,6 | 0,3332 | 3312 | 3292 | 3271 | 3251 | 3230 | 3209 | 3187 | 3166 | 3144 |
0,7 | 0,3123 | 3101 | 3079 | 3056 | 3034 | 3011 | 2989 | 2966 | 2943 | 2920 |
0,8 | 0,2897 | 2874 | 2850 | 2827 | 2803 | 2780 | 2756 | 2732 | 2709 | 2685 |
0,9 | 0,2661 | 2637 | 2613 | 2589 | 2565 | 2541 | 2516 | 2492 | 2468 | 2444 |
1,0 | 0,2420 | 2396 | 2371 | 2347 | 2323 | 2299 | 2275 | 2251 | 2227 | 2203 |
1,1 | 0,2179 | 2155 | 2131 | 2107 | 2083 | 2059 | 2036 | 2012 | 1989 | 1965 |
1,2 | 0,1942 | 1919 | 1895 | 1872 | 1849 | 1826 | 1804 | 1781 | 1758 | 1736 |
1,3 | 0,1714 | 1691 | 1669 | 1647 | 1626 | 1604 | 1582 | 1561 | 1539 | 1518 |
1,4 | 0,1497 | 1476 | 1456 | 1435 | 1415 | 1394 | 1374 | 1354 | 1334 | 1315 |
1,5 | 0,1295 | 1276 | 1257 | 1238 | 1219 | 1200 | 1182 | 1163 | 1145 | 1127 |
1,6 | 0,1109 | 1092 | 1074 | 1057 | 1040 | 1023 | 1006 | 0989 | 0973 | 0957 |
1,7 | 0,0940 | 0925 | 0909 | 0893 | 0878 | 0863 | 0848 | 0833 | 0818 | 0804 |
1,8 | 0,0790 | 0775 | 0761 | 0748 | 0734 | 0721 | 0707 | 0694 | 0681 | 0669 |
1,9 | 0,0656 | 0644 | 0632 | 0620 | 0608 | 0596 | 0584 | 0573 | 0562 | 0551 |
2,0 | 0,0540 | 0529 | 0519 | 0508 | 0498 | 0488 | 0478 | 0468 | 0459 | 0449 |
2,1 | 0,0440 | 0431 | 0422 | 0413 | 0404 | 0396 | 0387 | 0379 | 0371 | 0363 |
2,2 | 0,0355 | 0347 | 0339 | 0332 | 0325 | 0317 | 0310 | 0303 | 0297 | 0290 |
2,3 | 0,0283 | 0277 | 0270 | 0264 | 0258 | 0252 | 0246 | 0241 | 0235 | 0229 |
2,4 | 0,0224 | 0219 | 0213 | 0208 | 0203 | 0198 | 0194 | 0189 | 0184 | 0180 |
2,5 | 0,0175 | 0171 | 0167 | 0163 | 0158 | 0154 | 0151 | 0147 | 0143 | 0139 |
2,6 | 0,0136 | 0132 | 0129 | 0126 | 0122 | 0119 | 0116 | 0113 | 0110 | 0107 |
2,7 | 0,0104 | 0101 | 0099 | 0096 | 0093 | 0091 | 0088 | 0086 | 0084 | 0081 |
2,8 | 0,0079 | 0077 | 0075 | 0073 | 0071 | 0069 | 0067 | 0065 | 0063 | 0061 |
2,9 | 0,0060 | 0058 | 0056 | 0055 | 0053 | 0051 | 0050 | 0048 | 0047 | 0046 |
3,0 | 0,0044 | 0043 | 0042 | 0040 | 0039 | 0038 | 0037 | 0036 | 0035 | 0034 |
3,1 | 0,0033 | 0032 | 0031 | 0030 | 0029 | 0028 | 0027 | 0026 | 0025 | 0025 |
3,2 | 0,0024 | 0023 | 0022 | 0022 | 0021 | 0020 | 0020 | 0019 | 0018 | 0018 |
3,3 | 0,0017 | 0017 | 0016 | 0016 | 0015 | 0015 | 0014 | 0014 | 0013 | 0013 |
3,4 | 0,0012 | 0012 | 0012 | 0011 | 0011 | 0010 | 0010 | 0010 | 0009 | 0009 |
3,5 | 0,0009 | 0008 | 0008 | 0008 | 0008 | 0007 | 0007 | 0007 | 0007 | 0006 |
3,6 | 0,0006 | 0006 | 0006 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0005 | 0004 |
3,7 | 0,0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0004 | 0003 | 0003 | 0003 | 0003 |
3,8 | 0,0003 | 0003 | 0003 | 0003 | 0003 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 |
3,9 | 0,0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0002 | 0001 | 0001 |
4,0 | 0,0001338 | 0000589 | 0000249 | 0000101 | 0000040 | |||||
5,0 | 0,0000015 |
Таблица 2. Значения интегральной функции Лапласа Ф(х)= .
x | Ф(х) | x | Ф(х) | x | Ф(х) | x | Ф(х) | x | Ф(х) | x | Ф(х) | ||
0,00 | 0,0000 | 0,50 | 0,1915 | 1,00 | 0,3413 | 1,50 | 0,4332 | 2,00 | 0,4772 | 3,00 | 0,49865 | ||
0,01 | 0,0040 | 0,51 | 0,1950 | 1,01 | 0,3438 | 1,51 | 0,4345 | 2,02 | 0,4783 | 3,20 | 0,49931 | ||
0,02 | 0,0080 | 0,52 | 0,1985 | 1,02 | 0,3461 | 1,52 | 0,4357 | 2,04 | 0,4793 | 3,40 | 0,49966 | ||
0,03 | 0,0120 | 0,53 | 0,2019 | 1,03 | 0,3485 | 1,53 | 0,4370 | 2,06 | 0,4803 | 3,60 | 0,499841 | ||
0,04 | 0,0160 | 0,54 | 0,2054 | 1,04 | 0,3508 | 1,54 | 0,4382 | 2,08 | 0,4812 | 3,80 | 0,499928 | ||
0,05 | 0,0199 | 0,55 | 0,2088 | 1,05 | 0,3531 | 1,55 | 0,4394 | 2,10 | 0,4821 | 4,00 | 0,499968 | ||
0,06 | 0,0239 | 0,56 | 0,2123 | 1,06 | 0,3554 | 1,56 | 0,4406 | 2,12 | 0,4830 | 4,50 | 0,499997 | ||
0,07 | 0,0279 | 0,57 | 0,2157 | 1,07 | 0,3577 | 1,57 | 0,4418 | 2,14 | 0,4838 | 5,00 | 0,499997 | ||
0,08 | 0,0319 | 0,58 | 0,2190 | 1,08 | 0,3599 | 1,58 | 0,4429 | 2,16 | 0,4846 |
|
| ||
0,09 | 0,0359 | 0,59 | 0,2224 | 1,09 | 0,3621 | 1,59 | 0,4441 | 2,18 | 0,4854 |
|
| ||
0,10 | 0,0398 | 0,60 | 0,2257 | 1,10 | 0,3643 | 1,60 | 0,4452 | 2,20 | 0,4861 |
|
| ||
0,11 | 0,0438 | 0,61 | 0,2291 | 1,11 | 0,3665 | 1,61 | 0,4463 | 2,22 | 0,4868 |
|
| ||
0,12 | 0,0478 | 0,62 | 0,2324 | 1,12 | 0,3686 | 1,62 | 0,4474 | 2,24 | 0,4875 |
|
| ||
0,13 | 0,0517 | 0,63 | 0,2357 | 1,13 | 0,3708 | 1,63 | 0,4484 | 2,26 | 0,4881 |
|
| ||
0,14 | 0,0557 | 0,64 | 0,2389 | 1,14 | 0,3729 | 1,64 | 0,4495 | 2,28 | 0,4887 |
|
| ||
0,15 | 0,0596 | 0,65 | 0,2422 | 1,15 | 0,3749 | 1,65 | 0,4505 | 2,30 | 0,4893 |
|
| ||
0,16 | 0,0636 | 0,66 | 0,2454 | 1,16 | 0,3770 | 1,66 | 0,4515 | 2,32 | 0,4898 |
|
| ||
0,17 | 0,0675 | 0,67 | 0,2486 | 1,17 | 0,3790 | 1,67 | 0,4525 | 2,34 | 0,4904 |
|
| ||
0,18 | 0,0714 | 0,68 | 0,2517 | 1,18 | 0,3810 | 1,68 | 0,4535 | 2,36 | 0,4909
|
|
| ||
0,19 | 0,0753 | 0,69 | 0,2549 | 1,19 | 0,3830 | 1,69 | 0,4545 | 2,38 | 0,4913 |
|
| ||
0,20 | 0,0793 | 0,70 | 0,2580 | 1,20 | 0,3849 | 1,70 | 0,4554 | 2,40 | 0,4918 |
|
| ||
0,21 | 0,0832 | 0,71 | 0,2611 | 1,21 | 0,3869 | 1,71 | 0,4564 | 2,42 | 0,4922 |
|
| ||
0,22 | 0,0871 | 0,72 | 0,2642 | 1,22 | 0,3883 | 1,72 | 0,4573 | 2,44 | 0,4927 |
|
| ||
0,23 | 0,0910 | 0,73 | 0,2673 | 1,23 | 0,3907 | 1,73 | 0,4582 | 2,46 | 0,4931 |
|
| ||
0,24 | 0,0948 | 0,74 | 0,2703 | 1,24 | 0,3925 | 1,74 | 0,4591 | 2,48 | 0,4934 |
|
| ||
0,25 | 0,0987 | 0,75 | 0,2734 | 1,25 | 0,3944 | 1,75 | 0,4599 | 2,50 | 0,4938 |
|
| ||
0,26 | 0,1026 | 0,76 | 0,2764 | 1,26 | 0,3962 | 1,76 | 0,4608 | 2,52 | 0,4941 |
|
| ||
0,27 | 0,1064 | 0,77 | 0,2794 | 1,27 | 0,3980 | 1,77 | 0,4616 | 2,54 | 0,4945 |
|
| ||
0,28 | 0,1103 | 0,78 | 0,2823 | 1,28 | 0,3997 | 1,78 | 0,4625 | 2,56 | 0,4948 |
|
| ||
0,29 | 0,1141 | 0,79 | 0,2852 | 1,29 | 0,4015 | 1,79 | 0,4633 | 2,58 | 0,4951 |
|
| ||
0,30 | 0,1179 | 0,80 | 0,2881 | 1,30 | 0,4032 | 1,80 | 0,4641 | 2,60 | 0,4953 |
|
| ||
0,31 | 0,1217 | 0,81 | 0,2910 | 1,31 | 0,4049 | 1,81 | 0,4649 | 2,62 | 0,4956 |
|
| ||
0,32 | 0,1255 | 0,82 | 0,2939 | 1,32 | 0,4066 | 1,82 | 0,4656 | 2,64 | 0,4959 |
|
| ||
0,33 | 0,1293 | 0,83 | 0,2967 | 1,33 | 0,4082 | 1,83 | 0,4664 | 2,66 | 0,4961 |
|
| ||
0,34 | 0,1331 | 0,84 | 0,2995 | 1,34 | 0,4099 | 1,84 | 0,4671 | 2,68 | 0,4963 |
|
| ||
0,35 | 0,1368 | 0,85 | 0,3023 | 1,35 | 0,4115 | 1,85 | 0,4678 | 2,70 | 0,4965 |
|
| ||
0,36 | 0,1406 | 0,86 | 0,3051 | 1,36 | 0,4131 | 1,86 | 0,4686 | 2,72 | 0,4967 |
|
| ||
0,37 | 0,1443 | 0,87 | 0,3078 | 1,37 | 0,4147 | 1,87 | 0,4693 | 2,74 | 0,4969 |
|
| ||
0,38 | 0,1480 | 0,88 | 0,3106 | 1,38 | 0,4162 | 1,88 | 0,4699 | 2,76 | 0,4971 |
|
| ||
0,39 | 0,1517 | 0,89 | 0,3133 | 1,39 | 0,4177 | 1,89 | 0,4706 | 2,78 | 0,4973 |
|
| ||
0,40 | 0,1554 | 0,90 | 0,3159 | 1,40 | 0,4192 | 1,90 | 0,4713 | 2,80 | 0,4974 |
|
| ||
0,41 | 0,1591 | 0,91 | 0,3186 | 1,41 | 0,4207 | 1,91 | 0,4719 | 2,82 | 0,4976 |
|
| ||
0,42 | 0,1628 | 0,92 | 0,3212 | 1,42 | 0,4222 | 1,92 | 0,4726 | 2,84 | 0,4977 |
|
| ||
0,43 | 0,1664 | 0,93 | 0,3238 | 1,43 | 0,4236 | 1,93 | 0,4732 | 2,86 | 0,4979 |
|
| ||
0,44 | 0,1700 | 0,94 | 0,3264 | 1,44 | 0,4251 | 1,94 | 0,4738 | 2,88 | 0,4980 |
|
| ||
0,45 | 0,1736 | 0,95 | 0,3289 | 1,45 | 0,4265 | 1,95 | 0,4744 | 2,90 | 0,4981 |
|
| ||
0,46 | 0,1772 | 0,96 | 0,3315 | 1,46 | 0,4279 | 1,96 | 0,4750 | 2,92 | 0,4982 |
|
| ||
0,47 | 0,1808 | 0,97 | 0,3340 | 1,47 | 0,4292 | 1,97 | 0,4756 | 2,94 | 0,4984 |
|
| ||
0,48 | 0,1844 | 0,98 | 0,3365 | 1,48
| 0,4306 | 1,98 | 0,4761 | 2,96 | 0,4985 |
|
| ||
0,49 | 0,1879 | 0,99 | 0,3389 | 1,49 | 0,4319 | 1,99 | 0,4767 | 2,98 | 0,4986 |
|
|
Таблица 3. Значения вероятностей распределения Пуассона
l k | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
0 2 3 4 5 6 7 8 | 0,904837 0,090484 0,004524 0,000151 0,000004 | 0,818731 0,163746 0,016375 0,001091 0,000055 0,000002 | 0,740818 0,222245 0,033337 0,003334 0,000250 0,000015 0,000001 | 0,670320 0,268128 0,053626 0,007150 0,000715 0,000057 0,000004 | 0,606531 0,303265 0,075816 0,012636 0,001580 0,000158 0,000013 0,000001 | 0,548812 0,329287 0,098786 0,019757 0,002964 0,000356 0,000035 0,000003 | 0,496585 0,347610 0,121663 0,028388 0,004968 0,000695 0,000081 0,000008 | 0,449329 0,359463 0,143785 0,038343 0,007669 0,001227 0,000164 0,000019 0,000002 | 0,406570 0,365913 0,164661 0,049398 0,011115 0,002001 0,000300 0,000039 0,000004 |
l k | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 7,0 | 8,0 | 9,0 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 | 0,367879 0,367879 0,183940 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 0,000073 0,000009 0,000001 | 0,135335 0,270671 0,270671 0,180447 0,090224 0,036089 0,012030 0,003437 0,000859 0,000191 0,000038 0,000007 0,000001 | 0,049787 0,149361 0,224042 0,224042 0,168031 0,100819 0,050409 0,021604 0,008101 0,002701 0,000810 0,000221 0,000055 0,000013 0,000003 0,000001 | 0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104194 0,059540 0,029770 0,013231 0,005292 0,001925 0,000642 0,000197 0,000056 0,000015 0,000004 0,000001 | 0,006738 0,033690 0,084224 0,140374 0,175467 0,175467 0,146223 0,104445 0,065278 0,036266 0,018133 0,008242 0,003434 0,001321 0,000472 0,000157 0,000049 0,000014 0,000004 0,000001 | 0,002479 0,014873 0,044618 0,089235 0,133853 0,160623 0,160623 0,137677 0,103258 0,068838 0,041303 0,022529 0,011262 0,005199 0,002228 0,000891 0,000334 0,000118 0,000039 0,000012 0,000004 0,000001 | 0,000912 0,006383 0,022341 0,052129 0,091226 0,127717 0,149003 0,149003 0,130377 0,101405 0,070983 0,045171 0,026350 0,014188 0,007094 0,003311 0,001448 0,000596 0,000232 0,000085 0,000030 0,000010 0,000003 0,000001 | 0,000335 0,002684 0,010735 0,028626 0,057252 0,091604 0,122138 0,139587 0,139587 0,124007 0,099262 0,072190 0,048127 0,029616 0,016924 0,009026 0,004513 0,002124 0,000944 0,000397 0,000159 0,000061 0,000022 0,000008 0,000003 0,000001 | 0,000123 0,001111 0,004998 0,014994 0,033737 0,060727 0,091090 0,117116 0,131756 0,131756 0,118580 0,097020 0,072765 0,050376 0,032384 0,019431 0,010930 0,005786 0,002893 0,001370 0,000617 0,000264 0,000108 0,000042 0,000016 0,000006 0,000002 0,000001 |