Тема 8. Нормальный закон распределения

Вариант 1. Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см³. Плотность выпускаемых реактивов распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,0075. Какой процент выпускаемых реактивов имеет плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0,01 г/см³.

Вариант 2. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением s. Считается, что для данной технологии s=5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

Вариант 3. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормаль

ному закону распределения с параметрами  M(X)=10, s(X)=5. Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно M(X) интервал, в который с вероятностью P  попадает измеренное значение. Рассмотреть значения: а) P=0,9973; б) P=0,9544.

Вариант 4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок (это значит, что математическое ожидание случайных ошибок равно нулю). Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=20 г. Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно M(X) интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадает ошибка взвешивания. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Вариант 5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным,

если  X – отклонение  диаметра шарика от проектного размера – по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X  распределена нормально со средним квадратическим отклонением s=0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно M(X)=0 интервал, в который с вероятностью 0,95 попадает отклонение диаметра шарика.

Вариант 6. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a =10, средним квадратическим отклонением s=5. Найти интервалы, симметричные относительно математического ожидания, в которые с вероятностью: а) 0,9973 и  б) 0,91 попадает величина X  в результате испытания. Записать выражение плотности распределения X.

Вариант 7. Случайная величина X распределена нормально со сред-

ним квадратическим отклонением s=5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью: а) 0,9973 и б) 0,92  попадает X в результате испытания. Записать выражение плотности распределения X, если математическое ожидание а =0.

Вариант 8. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Найти вероятность того, что масса коробок отличается от средней не более чем на 0,06кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 0, 94 кг, но меньше 1,12кг? Масса коробок распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,035.

Вариант 9. При измерении детали ее длина X  является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 22 мм и средним квадратическим отклонением 0,2 мм. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X. Записать выражение плотности распределения X.

Вариант 10. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d₀ =5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением d₀ и средним квадратическим отклонением s=0,05. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ