Примерные вопросы на понимание

Вопросы к экзамену по математике в весеннем семестре 2019-2020 учебного года.

Функции двух переменных.

1) Определения, область определения, открытая область, замкнутая область, границы области, внутренние точки. Линии уровня. Предел.

2) Непрерывность. Свойства функции, непрерывной в замкнутой области.

3) Частные и полное приращения f(x; y). Частные производные и их геометрический смысл.

4) Дифференцируемость f(x; y) и полный дифференциал. Необходимое и Достаточное условия дифференцирования функции.

5) Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. 

6) Производная сложной функции.

7) Дифференцирование функции, заданной неявно.

8) Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

9) Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

10) Производная по направлению. Градиент.

Неопределенный интеграл.

11) Первообразная, неопределенный интеграл, теорема о множестве первообразных, свойства неопределенного интеграла.

12) Непосредственное интегрирование. Основные методы интегрирования: замена переменной, линейная замена переменной, интегрирование по частям.

13) Интегрирование рациональных дробей. Многочлен, степень многочлена, корни многочлена, разложение многочлена на множители. Теоремы (только формулировки) Безу, основная теорема алгебры, теорема о тождественном равенстве двух многочленов, теорема о сопряженных комплексных корнях многочлена, теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

14) Интегрирование простейших рациональных дробей.

15) Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы типа

Определенный интеграл.

16) Определения определенного интеграла, интегральной суммы. Переменная интегрирования. Область интегрирования. Теорема Коши о существовании определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

17) Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

18) Интеграл с переменным верхним пределом. Его производная. Формула Ньютона-Лейбница.

19)Замена переменной и интегрирование по частям в иопределенном интеграле.

Несобственные интегралы.

20)Несобственный интеграл I-го рода, сходимость. I и II признаки сравнения.

21) Несобственный интеграл II-го рода, сходимость. I и II признаки сравнения.

22) Геометрические приложения определенного интеграла:

Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах. Объем тела вращения.

Дифференциальные уравнения.

23) Определения ДУ, решение (интеграл) ДУ; обыкновенное ДУ, порядок ДУ, интегрирование ДУ, интегральная кривая, общее решение ДУ, частное решение ДУ, задача Коши, особое решение. Теорема о существовании и единственности решения. Типы ДУ I-го порялка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и замены, сводящие ДУ к к уравнению с разделенными переменными.

24) ДУ II-го порядка, допускающие понижение порядка.

25) Линейные ДУ n-го порядка. Линейные однородные ДУ II-го порядка (ЛОДУII). Линейно-независимые решения. Фундаментальная система решении. Теорема о структуре общего решения ЛОДУII.

26) Линейные неоднородные ДУ II-го порядка (ЛНДУII). Метод неопределенных коэффициентов.

Числовые ряды.

27) Определения: числовой ряд, общий член ряда, частичная суммы ряда, сумма ряда, сходящийся ряд, расходящийся ряд. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Ряд Стирлинга: вычисление суммы. Три свойства рядов. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд.

28) Необходимый и достаточные (I и II признаки сравнения, интегральный и радикальный признаки Коши, Признак Даламбера) признаки сходимости рядов. Обобщенный гармонический ряд.

29) Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

30) Функциональный ряд. Точки сходимости и расходимости.Степенной ряд. Коэффициенты ряда. Теорема Абеля (сходимость степенного ряда). Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

31) Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды (Тейлора и Маклорена).

Литература

1) Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]

Примерные вопросы на понимание