Плоское (плоскопараллельное) движение твёрдого тела

Определение. Плоским называется такое движение твёрдого тела, при котором все его точки двигаются в неподвижных параллельных друг другу плоскостях, иначе говоря, когда точки тела двигаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Примеры.

1. Движение колеса по прямой дороге плоское, так как все точки колеса двигаются параллельно плоскости чертежа.

2. Кривошипно-шатунный механизм. При вращении кривошипа ОА шатун АВ совершает плоскопараллельное движение.

Рассмотрим тело, совершающее плоское движение так, что все его точки двигаются параллельно неподвижной плоскости П. Параллельно плоскости П проведём ещё одну неподвижную плоскость П₁ и отметим сечение тела, полученное пересечением этой плоскостью.

При движении тела все его точки, лежащие на этом сечении, а следовательно, само сечение остаются в плоскости П₁. Аналогично все другие сечения тела, параллельные плоскости П, также будут оставаться в своих плоскостях. Согласно твёрдости тела все эти сечения будут двигаться совершенно одинаково, только каждое в своей плоскости. Таким образом приходим к выводу: плоское движение твёрдого тела полностью определяется движением одного сечения тела в своей плоскости. Поэтому при изучении плоского движения тела изображают только одно сечение тела, совмещая его для удобства с плоскостью чертежа. Это сечение будем называть также плоской фигурой.

Найдём параметры, определяющие положение плоской фигуры в неподвижных осях . Для этого возьмём произвольную точку А фигуры, которую будем называть полюсом. С началом в точке А введём: 1) подвижные оси , движущиеся поступательно относительно неподвижных осей ; 2) подвижные оси , жёстко скреплённые с фигурой. Положение фигуры определяется положением скреплённых осей . Чтобы знать положение этих осей в неподвижных осях , нужно знать положение точки А и угол  между осями  и . Так как положение точки А в осях  определяется двумя координатами , , то положение скреплённых осей, а следовательно, положение фигуры определяется тремя параметрами: , , . Движение фигуры будет определено, если эти параметры заданы как функции времени:

                                                                                                        (1)

Эти уравнения называются уравнениями движения плоской фигуры или, что то же самое, уравнениями плоского движения твёрдого тела.

Покажем, что движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Если предположить, что , то фигура двигалась бы поступательно со скоростью, равной скорости полюса А. Такое движение описывается первыми двумя уравнениями совокупности (1). Если точку А считать закреплённой, то фигура вращалась бы вокруг этой точки. Такое вращение описывается последним уравнением совокупности (1). При движении фигуры эти движения происходят одновременно. Таким образом, движение плоской фигуры можно считать состоящим из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Замечание. Поступательная часть движения фигуры зависит от выбора полюса, а вращательная часть не зависит от выбора полюса. Действительно, если за полюс взять другую точку В фигуры и с началом в этой точке ввести ось ||  и скреплённую с фигурой ось || , то угол поворота  при новом полюсе будет равен углу  в каждый момент времени, так как при движении фигуры указанные параллельности сохраняются, т.е. . Это и означает, что вращательная часть движения фигуры не зависит от выбора полюса.