Интегралы от тригонометрических функций

4 5 6 7 8 9 10

Сведения из теории

6.1.1. Интегралы вида ,

где хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

Пусть, например, – нечетно. Тогда

|| замена || ,

то есть интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степеней.

6.1.2. Интегралы вида , где m и n четные целые числа

Если m и n четные целые положительные числа, то используются формулы понижения степени

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Различных аргументов

Для их вычисления используются тригонометрические формулы

Примеры решения задач

6.2.1. Вычислить .

◄ Так как стоит в нечетной степени, то

. ►

6.2.2. Вычислить .

◄ Используем то обстоятельство, что косинус стоит в нечётной степени.

= . ►

6.2.3. Вычислить .

◄ Используем вторую из формул понижения степени:

. ►

6.2.4. Вычислить .

◄ Для вычисления этого интеграла от произведения синуса и косинуса в чётных степенях используем формулы понижения степени.

. ►

6.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу.

. ►

6.2.6. Вычислить .

◄ Избавляемся от квадрата по третьей из формул понижения степени, а затем используем формулу:

. ►

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Сведения из теории

Несобственный интеграл от функции по промежутку :

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если бесконечен или вообще не существует, то несобственный интеграл расходится.

Примеры решения задач

7.2.1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.