Примеры решения задач

8.2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 4).

◄ По формуле (8.1) площадь

. ►

8.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

◄ Найдем абсциссу точки пересечения линий  и :

, , , , , .

С учетом вида графиков функций  и  получаем, что фигура имеет вид, изображенный на рис. 5. По формуле (8.2) площадь фигуры

. ►

8.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

◄ Для нахождения абсцисс точек пересечения линий  и  получаем квадратное уравнение  или . Решая его, получаем , , . Фигура имеет вид, изображенный на рис. 6. По формуле площадь фигуры

. ►

 

8.2.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

◄ Фигура имеет вид, изображенный на рис. 7. Ее площадь находим по формуле (8.2):

. ►

8.2.5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 8).

◄ По формуле (8.3) объем тела вращения

(по формуле (6.1) понижения степени)

. ►

Дифференциальные уравнения

 

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

 

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k - коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а .

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций  и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.