2020-06-30
120
Сведения из теории
Если 
, 
– функции, имеющие непрерывные производные на отрезке 
, то справедлива формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла
,
или в краткой записи
,
а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла
или в краткой записи
.
Примеры решения задач
3.2.1. Вычислить 
.
◄ Положим 
. Тогда 
,
(постоянную C здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:
. ►
3.2.2. Вычислить 
.
◄ 
К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.
. ►
3.2.3. Вычислить 
.
◄ 
. ►
3.2.4. Вычислить 
.
◄ Выполним замену переменной 
. Тогда 
, 
и интеграл примет вид
. ►
3.2.5. Вычислить 
.
◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла.
. ►
3.2.6. Вычислить 
.
◄ 
. ►
ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,
СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Сведения из теории
Для вычисления интегралов вида
из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат:
и делается замена переменных 
.
Примеры решения задач
4.2.1. Вычислить 
.
◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:
.
Сделаем в интеграле подстановку 
. Тогда 
, 
,
(используем табличные интегралы 3 и 11)
= 
.►
4.2.2. Вычислить 
.
◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене
.
(табличные интегралы 3 и 12) =
. ►
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Сведения из теории
Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов
.
Если 
, то дробь называется правильной, если 
то неправильной.
Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.
(1) 
; (2) 
,
(3) 
, (4) 
.
Простейшие дроби типов (1) и (2) интегрируются просто:
;
.
Метод интегрирования простейших дробей типа (3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.
Произвольную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Как это сделать будет показано ниже в п. 5.2 на примерах. Поэтому интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. пример 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.
