Интегрирование по частям

Сведения из теории

 

Если ,  – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

 

,

или в краткой записи

 

,                                      

 

а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла

или в краткой записи

.                              

 

Примеры решения задач

3.2.1. Вычислить .

◄ Положим .  Тогда ,

 (постоянную C  здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:

 

. ►

3.2.2. Вычислить .

◄

К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

. ►

3.2.3. Вычислить .

◄

. ►

3.2.4. Вычислить .

◄ Выполним замену переменной . Тогда ,   и интеграл примет вид

. ►

3.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла.

. ►

3.2.6. Вычислить .

◄

. ►

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,

СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Сведения из теории

Для вычисления интегралов вида

из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат:

и делается замена переменных .

 

Примеры решения задач

 

4.2.1. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:

.

Сделаем в интеграле подстановку . Тогда , ,

(используем табличные интегралы 3 и 11)

= .►

4.2.2. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

.

 (табличные интегралы 3 и 12) =

. ►

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Сведения из теории

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов

.

Если , то дробь называется правильной, если  то неправильной.

Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.

(1) ;                   (2) ,

(3) ,         (4) .

Простейшие дроби типов (1) и (2) интегрируются просто:

;

.

Метод интегрирования простейших дробей типа (3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.

Произвольную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Как это сделать будет показано ниже в п. 5.2 на примерах. Поэтому интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. пример 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.