Примеры решения задач

5.2.1. Вычислить .

◄ Рассматриваемая дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Знаменатель дроби разложим на множители. Сначала вынесем общий множитель x: . Для разложения на множители квадратного трехчлена надо найти его корни:

, , .

Поэтому , а

Теперь ищем разложение дроби на сумму простейших в виде

где числа A, B и C подлежат определению. Множителю x в знаменателе соответствует простейшая дробь , множителю – дробь , множителю – дробь .

Для нахождения A, B и C приведём правую часть к общему знаменателю (он тот же, что и в левой части)

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если их числители равны

Полагая в последнем равенстве x равным корням знаменателя, получаем уравнения для нахождения коэффициентов А, В и С:

Итак, .

. ►

5.2.2. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная. Её знаменатель разлагается на линейные множители:

Разложение дроби в сумму простейших ищем в виде

Здесь первые три слагаемых соответствуют множителям x (их три), а четвёртое – множителю . Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю, равному , и приравниваем числители

или

Для нахождения неизвестных A, B, C, D используем равенство коэффициентов при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих справа и слева от знака равенства.

Поставляя найденные значения A, B, C, D в и интегрируя, получаем

. ►

5.2.3. Вычислить .

◄ Дробь правильная. Знаменатель разлагается в произведение линейного и квадратичного множителей: . Так как в нуль не обращается, то на линейные множители уже не разлагается.

Ищем разложение дроби в сумму простейших дробей в виде

Освободимся от знаменателя и найдём A, B и С, используя те же приёмы, что и в предыдущих примерах.

. .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих слева и справа от знака равенства: , , . Отсюда , , . Таким образом, ,

. ►

5.2.4. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Поэтому её надо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, выполнив деление многочлена (числителя дроби) на многочлен (знаменатель дроби).