Дифференциальные уравнения первого порядка

7 8 9 10 11 12 13

2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1)

. (2)

Если уравнение можно разрешить относительно производной, то

, (3)

где функция определена в некоторой области D.

Для примера рассмотрим уравнение Нетрудно убедится в том, что его решением является функция , где С - произвольная постоянная. И на любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С, т.е. имеют вид

или . (4)

Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнения (2) или (3) называется функция (4) удовлетворяющая условиям:

1. Обращает в тождество уравнение при любых значениях С;

2. Для любой точки можно найти такое значение постоянной для которого или .

Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения.

Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида

или . (5)

В этом случае задача о нахождении частного решения называется задачей Коши.

Пример 1. Решить задачу Коши:

Как было показано, общее решение имеет вид . Определим константу С, исходя из начального условия

- решение задачи Коши.

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении функция непрерывна в некоторой области D, содержащей точку , то существует решение этого уравнения, удовлетво-ряющее начальному условию . Если, кроме этого, в этой области непрерывна производная , то решение уравнения единственно.