Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

Дисциплина: Физика

Преподаватель: Першунина Е.В.

Учебный материал на 26, 27, 29 мая

Конспект занятия

Квантовая физика

Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

С данной темы переходим к изучению квантовой физики. И в начале поговорим о таком явление, как фотоэффект. А также рассмотрим уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

В конце 19 века многие ученые считали, что развитие физики завершилось. Законы механики и теория всемирного тяготения были известны уже более 200 лет. Максвеллом была завершена теория электромагнетизма. Установлены законы сохранения энергии, импульса и электрического заряда.

Однако к началу 20 века возникли некоторые проблемы, которые касались физической природы излучения и вещества и их взаимодействия друг с другом. В рамках классической физики возникали существенные противоречия при объяснении экспериментальных данных для процессов поглощения и испускания света атомами, закономерностей испускания электромагнитного излучения нагретыми телами и многое другое.

Анализ данных противоречий привел к революции в физике. И в течение последующих 30 лет были заложены основы новой — квантовой физики, которая пришла на смену классическим представлениям при рассмотрении явлений, происходящих на атомном и субатомном уровнях.

Известно, что все нагретые тела испускают тепловое электромагнитное излучение, интенсивность которого зависит от температуры тела. При этом излучение, испускаемое телами, содержит волны различных частот. А эксперименты показали, что спектр теплового излучения является непрерывным.

Согласно волновой теории света, испускание и поглощение электромагнитных волн рассматривается как непрерывный процесс, в результате которого энергия источника или приемника волн также меняется непрерывно. Но тогда, нагретое тело, непрерывно излучающее электромагнитные волны, должно терять энергию и, как следствие, охлаждаться до абсолютного нуля. Следовательно, не возможно тепловое равновесие между веществом и излучением. А это противоречит экспериментам.

Для объяснения этих противоречий 14 декабря 1900 года Макс Планк в докладе на заседании немецкого физического общества выдвинул революционную гипотезу о том, что атомы излучают энергию не непрерывно, а отдельными порциями — квантами световой энергии. В соответствии с этой гипотезой энергия любой колебательной системы, имеющей частоту собственных колебаний, может принимать лишь определенные значения, отличающиеся на целое число элементарных порций — квантов энергии:

В этой формуле n — целое положительное число (количество квантов), а h — коэффициент пропорциональности, который называют постоянной Планка – фундаментальная постоянная. Ее приближенное значение, принимаемое при решении задач, составляет 6,63×10^–34 Дж×с. Сам Планк поэтически назвал новую фундаментальную постоянную «таинственным послом из реального мира».

Представление о квантах световой энергии объяснило многие экспериментальные факты, которые ранее не возможно было объяснить на основании классических представлений о свете. В развитии представления о природе света важный шаг был сделан при изучении одного замечательного явления, которое в свое время открыл Генрих Рудольф Герц.

В 1887 году, изучая искровой разряд, он обнаружил, что пробой воздушного промежутка между электродами искрового разрядника происходит при меньшем напряжении, если освещать отрицательно заряженный электрод ультрафиолетовым излучением. Дальнейшие эксперименты показали, что отрицательно заряженная цинковая пластина при облучении ультрафиолетовым светом разряжается. Оба эти явления можно объяснить, только предполагая, что под действием падающего излучения из металла вылетают электроны — отрицательно заряженные частицы. Это явление получило название фотоэффект.

В настоящее время под фотоэффектом (или фотоэлектрическим эффектом) понимается явление взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, в результате которого энергия излучения полностью передается электронам вещества.

Если фотоэффект сопровождается вылетом электронов с поверхности вещества, то его называют внешним фотоэффектом, а вылетающие электроны — фотоэлектронами.

Если же фотоэффект сопровождается увеличением концентрации носителей заряда в веществе, а, следовательно, и увеличение электропроводности вещества, то его называют внутренним фотоэффектом.

Систематическое изучение явления фотоэффекта было проведено в 1888 — 1889 годах выдающимся русским физиком Александром Григорьевичем Столетовым.

Установка для изучения внешнего фотоэффекта представляет собой стеклянный баллон, из которого откачен воздух. Внутри баллона располагается два впаянных электрода. Один из них изготовлен из медной сетки, к которой подводился положительный заряд, а второй электрод представляет собой отрицательно заряженную цинковую пластинку. Внутрь баллона через кварцевое окошко, прозрачное для ультрафиолетового излучения, попадает свет на катод. Под действием падающего света катод испускает электроны, которые замыкают цепь. Находящийся в цепи амперметр фиксирует наличие тока.

Наблюдения Столетова показали, что даже при отсутствии напряжения между электродами под действием падающего ультрафиолетового излучения в цепи возникает электрический ток, получивший название фототок.

Изменяя напряжение между электродами с помощью реостата, Столетов получил зависимость силы фототока от напряжения (иными словами — вольт-амперную характеристику фотоэффекта).

Как видно из зависимости, если увеличивать напряжение между электродами, то сила фототока также будет расти. Однако рост силы фототока происходит лишь до некоторого максимального значения, которое называется фототоком насыщения. Дальнейшее увеличение напряжения не приводит к росту фототока. Значит, при фототоке насыщения все электроны, вылетевшие с поверхности металла за 1 секунду, за это же время попадают на анод.

Если изменить полярность напряжения, то в электростатическом поле между электродами фотоэлектроны будут тормозиться, и, как следствие, будет уменьшаться сила фототока. При некотором значении отрицательного напряжения, которое называют задерживающим напряжением, фототок полностью прекращается.

Объяснить это явление можно на основании теоремы о кинетической энергии. Согласно ей, работа задерживающего электрического поля равна изменению кинетической энергии фотоэлектронов, при условии, что их скорость намного меньше скорости света в вакууме. Следовательно, зная значение задерживающего напряжения, можно найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов.

Для большинства веществ фотоэффект возникает только под действием ультрафиолетового излучения. Но есть некоторые металлы, например, такие как литий, натрий, калий или цезий, которые испускают электроны и при облучении видимым светом.

Александр Столетов экспериментально установил три закона для внешнего фотоэффекта.

Первый закон: сила фототока насыщения, определяемая максимальным числом фотоэлектронов, вырываемых из катода за единицу времени, прямо пропорциональна интенсивности падающего излучения.

Обратите внимание на вольт-амперную характеристику фотоэффекта для различных световых потоков, падающих на фотокатод при постоянной частоте. И на характеристику для постоянного светового потока, но различных частот падающего на катод света. Если проанализировать данные вольт-амперных характеристик и по ним построить график зависимости силы фототока насыщения от интенсивности падающего излучения, то можно увидеть, что сила фототока насыщения равна нулю только при отсутствии падающего на катод излучения.

Второй закон фотоэффекта: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего излучения и линейно возрастает с увеличением его частоты.

Здесь подчеркнем, что фотоэлектроны не имеют фиксированной кинетической энергии при вылете из катода: она меняется в некотором диапазоне от нуля до максимального значения, так как фотоэлектроны могут часть своей энергии, полученной от падающего излучения, передать частицам вещества перед вылетом.

Теперь вновь обратимся к вольт-амперным характеристикам фотоэффекта для различных световых потоков при постоянной частоте и для постоянного светового потока при различных частотах падающего на катод света. Как можно заметить, величина задерживающего напряжения увеличивается с увеличением частоты падающего света и наоборот. И при некотором значении частоты падающего света задерживающее напряжение становится равным нулю, а дальнейшее уменьшение частоты приводит к тому, что фотоэффект наблюдаться не будет. Так вот, эта минимальная частота (или максимальная длина волны) падающего света, при которой еще возможен фотоэффект, называется красной границей фотоэффекта.

Такое название связано с тем, что минимальная частота излучения в видимом диапазоне соответствует красному свету. Но следует помнить, что красная граница для различных веществ различна и необязательно соответствует красному цвету.

На основании проведенного анализа вольт-амперных характеристик, можно сформулировать третий закон фотоэффекта: для каждого вещества существует граничная частота, такая, что излучение меньшей частоты не может вырвать электроны с его поверхности.

Существует еще одно свойство фотоэффекта, которое часто записывают как его четвертый закон: фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом, до вылета электрона проходит время порядка 10^–9 секунды.

А теперь давайте попробуем объяснить экспериментальные законы фотоэффекта на основе квантовых представлений, предложенных Эйнштейном. И так, электрон одного из атомов внутри металла после поглощения одного фотона получает квант энергии и стремится выйти за пределы кристаллической решетки.

Электроны, покинувшие образец, имеют некоторую скорость, поэтому даже при отсутствии напряжения между электродами сила фототока не равна нулю.

Часть энергии, полученной при поглощении фотона, электрон расходует на совершение работы по преодолению сил притяжения, удерживающих его внутри вещества. Соответственно остаток энергии будет равен кинетической энергии электрона.

Здесь — кинетическая энергия электрона, вылетевшего с поверхности металла и движущегося со скоростью, намного меньше скорости света. Величина представляет собой работу, которую необходимо совершить против сил электрического поля для того чтобы электрон вылетел из вещества. Она называется работой выхода. Для металлов работа выхода обычно составляет несколько электронвольт. Таким образом, полученное уравнение — уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта — является следствием закона сохранения и превращения энергии в этом процессе.

Используем данное уравнение для объяснения экспериментальных законов фотоэффекта.

И так, первый закон фотоэффекта. Сила фототока насыщения пропорциональна общему числу фотоэлектронов, покидающих поверхность металла за единицу времени. Число таких фотоэлектронов пропорциональна числу фотонов, падающих на поверхность за это же время. Значит, увеличение интенсивности света означает увеличение числа падающих фотонов, которые выбивают из металла все больше электронов.

Второй закон фотоэффекта. При увеличении частоты падающего света максимальная кинетическая энергия, согласно формуле, линейно возрастает. Но если подать напряжение обратной полярности, затрудняющее вылет электронов, то сила фототока уменьшится, так как теперь электронам, кроме работы выхода, придется совершать дополнительную работу против сил электрического поля. Таким образом, действительно найдется такое значение напряжения, при котором все вылетевшие электроны затормаживаются и, не достигнув поверхности анода, возвращаются на катод.

Ну и третий закон фотоэффекта. Если частота падающего света меньше граничной частоты, при которой минимальная энергия фотона равна работе выхода, то испускание электронов не происходит.

Таким образом, красную границу фотоэффекта можно найти из соотношения:

Из этой формулы видно, что красная граница фотоэффекта зависит только от работы выхода электронов, т.е. определяется строением металла и состоянием его поверхности.

Длину волны излучения, соответствующего красной границе фотоэффекта, можно определить по формуле:

Для того чтобы было еще более понятно, что такое фотоэффект, рассмотрим его механическую аналогию. Представьте, что у нас есть шарик, находящийся на дне глубокой ямы. Если шарику сообщить достаточную начальную кинетическую энергию, он поднимется из ямы и покатится по поверхности земли с некоторой скоростью. Закон сохранения и превращения энергии для такого процесса вы видите на экране.

Если провести аналогию данной формулы с уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, то можно заметить, что величина является работой выхода шарика из ямы, а сообщенная ему кинетическая энергия аналогична энергии фотона.

Основные выводы:

– Явление фотоэффекта заключается в том, что при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом энергия излучения полностью передается электронам вещества.

– Если фотоэффект сопровождается вылетом электронов с поверхности вещества, то его называют внешним фотоэффектом, а вылетающие электроны — фотоэлектронами.

– Если же фотоэффект сопровождается увеличением концентрации носителей заряда в веществе, а, следовательно, и увеличением электропроводности вещества, то его называют внутренним фотоэффектом.

– Рассмотрели законы внешнего фотоэффекта.

– Первый закон: сила фототока насыщения, определяемая максимальным числом фотоэлектронов, вырываемых из катода за единицу времени, прямо пропорциональна интенсивности падающего излучения.

– Второй закон фотоэффекта: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего излучения и линейно возрастает с увеличением его частоты.

– Третий закон фотоэффекта: для каждого вещества существует граничная частота, такая, что излучение меньшей частоты не может вырвать электроны с его поверхности.

– Четвертый закон: фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом, до вылета электрона проходит время порядка 10 в минус девятой степени секунды.

– Минимальная частота (или максимальная длина волны) падающего света, при которой еще возможен фотоэффект, называется красной границей фотоэффекта.

– Познакомились с уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

Фотоны

В современной физике фотон считается одной из элементарных частиц, являющейся переносчиком электромагнитного взаимодействия. Но об этом поговорим немного позже.

В данной теме рассмотрим фотоны в рамках явления фотоэффекта. Фотоэффект – это вырывание электронов из вещества под действием света. Это явление было открыто Генрихом Герцем и тщательно исследовано Александром Столетовым. В результате проведения опытов, было выведено три закона фотоэффекта.

Первый закон гласит, что фототок насыщения прямо пропорционален падающему световому потоку. Второй закон фотоэффекта говорит о том, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растет с частотой света и не зависит от его интенсивности. То есть, если частота света меньше некой минимальной границы, то явление фотоэффекта не происходит. Третий закон фотоэффекта звучит так: для каждого вещества существует максимальная длина волны, при которой фотоэффект еще наблюдается. При больших длинах волн фотоэффекта нет. Явление фотоэффекта было объяснено Альбертом Эйнштейном в 1905ом году. Более того, в законах фотоэффекта Эйнштейн видел доказательство того, что свет, всё-таки является потоком частиц и, соответственно, поглощается отдельным порциями. Энергия каждой порции прямо пропорциональна частоте. Эта энергия идет на совершение работы выхода и на сообщение электрону кинетической энергии. Под работой выхода понимается минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы вырвать его из вещества.

Итак, явление фотоэффекта может происходить только в определенном диапазоне длин волн и частот, который получил называние красной границы фотоэффекта. Установлено, какими величинами можно охарактеризовать явление фотоэффекта.

Какими величинами характеризуются фотоны? В первую очередь – это энергия фотона. В соответствии с теорией относительности, масса связана с энергией.

Исходя из двух выражений для энергии, можно найти массу движущегося фотона. Конечно, у фотона нет массы покоя, поскольку, фотоны при рождении сразу двигаются со скоростью света.

Еще одна величина, характеризующая фотон – это импульс фотона. Импульс можно найти, воспользовавшись известной формулой: произведение массы и скорости.

Очевидно, что направление импульса совпадает с направлением светового луча. В полученном выражении видно отношение частоты волны к скорости света. В данном случае, это есть не что иное, как величина, обратная длине волны.

Согласно известной формуле, чем больше частота волны, тем больше энергия фотона. Однако, энергия фотонов спектра видимого излучения очень мала: например, фотоны с длиной волны, соответствующей зеленому свету, обладают энергией, примерно равной 4×10^–19 Дж. Тем не менее, человеческий глаз способен реагировать и на меньшие изменения энергии. Это было установлено Сергеем Вавиловым во время проведения его опытов. Он писал, что человеческий глаз – это «тончайший из приборов» и что он способен уловить различие освещенности, которое измеряется в единичных квантах.

Законы фотоэффекта можно объяснить, только интерпретируя свет, как поток фотонов. Именно такой теории и придерживался Ньютон, отстаивая корпускулярную природу света. Гюйгенс же разработал другую теорию света, согласно которой, свет являлся электромагнитной волной. Также, опыты Юнга и Френеля, связанные с изучением интерференции и дифракции света, говорили о том, что свет имеет волновую природу.

Получается вот какая картина: такие явления, как тепловое излучение или фотоэффект можно объяснить только корпускулярной природой света, а такие явления, как интерференция и дифракция, можно объяснить только волновой природой света. Сегодня считается, что свет проявляет свойства волны при распространении, а при взаимодействии с веществом – проявляет корпускулярные свойства. Эта двойственность свойств получила название корпускулярно-волнового дуализма (такое название предложил Эйнштейн). То есть, корпускулярно-волновой дуализм – это проявление свойств волны и свойств частицы или, говоря более обобщенно, – это общее свойство материи, проявляющееся на микроскопическом уровне.

Если задуматься, то можно предположить следующее: а что, если корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотонам? Именно такую гипотезу высказал Луи де Бройль в 1923 году. Возникал вопрос, а что, если и другие частицы, такие, как электрон, например, обладают волновыми свойствами? Де Бройль предположил, что с движением частиц связано распространение и других волн. Найдя длины этих волн, он установил, что связь длины волны и импульса частицы описывается той же формулой, что и для фотонов. Справедливость формулы де Бройля была доказана экспериментально. Впервые это было сделано Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в 1927 году.

Надо сказать, что изначально они исследовали отражение электронов от металла, не имея цели доказать или опровергнуть гипотезу де Бройля. Схема опыта довольно проста: из электронной пушки бомбардируется кристалл никеля, от которого отскакивают электроны и регистрируются гальванометром. Но Дэвиссон и Джермер заметили, что максимумы отражения наблюдаются только при определенных углах. Они еще не подозревали, что подтвердили гипотезу де Бройля, но они также знали, что при отражении рентгеновских лучей происходит явление дифракции.

Явление дифракции описывается уравнением

где m – это порядок максимума. Исходя из этого соотношения, Дэвиссону и Джермеру удалось вычислить длину волны пойманного излучения, которая составила 0,165 нм. Тогда они решили проверить длину волны электрона, исходя из гипотезы де Бройля. Скорость электрона определялась ускоряющим напряжением, которое, конечно, было известно. Оказалось, что длина волны электронов равна тому же самому значению.

Независимо от Дэвиссона и Джермера, подтверждением гипотезы де Бройля занимался Джордж Томсон (сын известного ученого Джозефа Томсона). Он вычислил необходимое ускоряющее напряжение для того, чтобы длина волны электрона была равной длине волны рентгеновского излучения. Импульс электрона Томсон вычислил по той же самой формуле:

Что же это давало Томсону? На тот момент уже хорошо была известна Лауэграмма – дифракционная картина, создаваемая рентгеновским излучением.

В своем опыте Джордж Томсон использовал пучки электронов, но все равно получил дифракционную картину, которая была неотличима от лауэграммы.

Все эти явления, как правило, нельзя описать с помощью классической механики Ньютона, поэтому, было необходимо создать новую теорию. Такая теория стала называться квантовой механикой.

Упражнения.

Задача 1. Известно, что для вольфрама явление фотоэффекта не происходит, если длина волны света больше, чем 275 нм. Найдите работу выхода электронов из вольфрама. Также найдите максимальную скорость электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны 200 нм.

Задача 2. Какой импульс приобретет изначально покоящаяся металлическая пластинка при вылете из неё одного электрона, если на её поверхность падает фотон, соответствующий длине волны 280 нм. Работа выхода электрона равна 5×10^–19 Дж. Считать, что импульсы фотона и электрона перпендикулярны поверхности пластинки.

Итак, для того, чтобы успешно решать задачи на фотоэффект, необходимо:

1) помнить взаимосвязь между квантовыми и волновыми характеристиками частиц.

2) Знать, что фотоны ведут себя как частицы при взаимодействии с веществом, а потому выполняются законы сохранения энергии и импульса. Например, уравнение Эйнштейна для фотоэффекта – это следствие закона сохранения энергии.

Основные выводы:

– Свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами, а, значит, представляет собой поток частиц. Эти частицы были названы фотонами (иногда их называют квантами электромагнитного излучения).

– Фотон обладает энергией, которая определяется только частотой световой волны.