2020-06-29
63
5.4.1. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение. См. 5.2.1 (1).
.
5.4.2. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение. См. 5.2.1 (1).
Вывод. Заданный интеграл сходится при 
, и его значение равно 
. При 
интеграл расходится.
5.4.3. Вычислить несобственный интеграл: 
Решение. См. 5.2.1 (2).
Интеграл 
расходится, так как 
.
5.4.4. Найти главное значение несобственного интеграла 
Решение. 1) Интеграл 
расходится.
Действительно, 
, и каждое слагаемое в этой сумме расходится (см. 5.1.3 и пример 5.4.3).
2) 
Интеграл расходится в смысле главного значения: 
Замечание. Но, например, 
, хотя несобственный интеграл 
, очевидно, является расходящимся. Действительно, 
; далее см. п.п. 5.3.2 и 5.2.4.
5.4.5. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение.
Замечание. После замены переменной и упрощения подынтегральной функции несобственный интеграл превратился в определенный.
5.4.6. Вычислить несобственный интеграл: 
Решение. Данный интеграл является несобственным только из-за бесконечного верхнего предела. Внутри интервала интегрирования точек разрыва подынтегральной функции нет. Данный интеграл вычисляется по частям:
.
1) Запись 
означает 
.
2) Вычисляем несобственный интеграл, предварительно разложив подынтегральное выражение на элементарные дроби:
. Следовательно, 
.
| |
| Рис. 5.1 | |
5.4.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
прямой 
и осью абсцисс (рис. 5.1).
Решение. Применяем формулу площади криволинейной трапеции, в которой верхний предел интегрирования равен 
. Площадь фигуры выражается сходящимся несобственным интегралом, поэтому имеет конечное значение:
.
5.4.8. Исследовать сходимость интеграла 
Решение. Очевидно, 
, поэтому 
. Интеграл 
сходится при 
(см. пример 5.4.2). На основании признака сходимости 5.3.1 (1) интеграл 
сходится и, следовательно, 
при 
сходится абсолютно (см. 5.3.4 (1)).
5.4.9. Исследовать сходимость интеграла 
.
Решение. Подынтегральная функция 
непрерывна при 
. В качестве вспомогательной функции возьмем 
, которая тоже непрерывна на 
.
Интеграл 
сходится (см. 5.2.4), и по признаку (5.3.2) исходный интеграл 
тоже сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
5.5.1. 
. 5.5.2. 
. 5.5.3. 
. 5.5.4. 
. 5.5.5. 
.
Исследовать сходимость интегралов:
5.5.6. 
. 5.5.7. 
. 5.5.8. 
.
Ответы. 5.5.1. Расходится. 5.5.2. 
. 5.5.3. 
. 5.5.4. 
. 5.5.5. 
. 5.5.6. Сходится. 5.5.7. Расходится. 5.5.8. Сходится.
