2020-06-29
174
4.3.1. Найти объем тела, ограниченного конусом 
и плоскостями 
и 
Решение. В сечении конуса, перпендикулярном оси 
, получается эллипс, который определяется уравнениями
Его полуоси равны 
и 
. Площадь, ограниченная эллипсом, равна произведению полуосей на число 
(см. задачу 3.3.2), поэтому 
.
Объем тела равен (см. п. 4.1.1) 
.
4.3.2. Найти объем и поверхность шара радиуса 
, рассматривая его как тело вращения.
Решение. Будем считать, что сфера образована вращением окружности 
, расположенной в плоскости 
, вокруг оси 
1. Объем шара определяем по формуле п. 4.1.2 
Из уравнения окружности получаем 
.
.
2. Для нахождения площади поверхности сферы применяем формулу из п. 4.2.1: 
В данной задаче 
и 
, 
. Отсюда 
.
4.3.3. Найти объем тела, ограниченного трехосным эллипсоидом с полуосями, равными 
, 
, 
.
Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид 
. Любое сечение эллипсоида плоскостью 
, 
, есть эллипс 
с полуосями 
и 
. Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна произведению полуосей на число (см. 3.3.2), т. е. 
Поэтому объем, ограниченный эллипсоидом, равен (см. п. 4.1.1)
.
4.3.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной осями координат и кривой 
, 
.
Решение. Найдем точки пересечения кривой с осями координат: при 
; при 
. Следовательно, отрезок интегрирования есть 
. Далее, из уравнения кривой получаем 
. Поэтому 
.
4.3.5. Фигура, ограниченная графиком функции 
, прямыми 
и 
, вращается вокруг оси 
. Найти объем 
получающегося тела вращения.
Решение. 
.
Дважды применяя метод интегрирования по частям, получим:
.
Окончательно, 
.
4.3.6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением астроиды 
вокруг оси .
Решение. Зададим астроиду в параметрической форме: 
, 
. Астроида симметрична относительно координатных осей и выглядит, как кривая из примера 3.3.3 (рис.3.4), только обе ее полуоси одинаковы и равны 
. Верхняя и нижняя половина астроиды при вращении образуют одну и ту же поверхность, поэтому для вычисления площади достаточно рассмотреть только верхнюю половину. Более того, учитывая симметричность астроиды относительно оси 
, можно вычислить половину искомой площади, рассмотрев вращение ее части, расположенной в первом квадранте (при 
). Пользуясь формулой п. 4.2.2, запишем:
. Следовательно, 
.
Замечание. Задачу можно было решить, не прибегая к параметрической форме. Дифференцируя уравнение астроиды, получаем 
, откуда 
. Далее, 
. Находим площадь:
Получили интеграл от дифференциального бинома (см. [1], п. 26.2.2), который вычисляется при помощи подстановки 
, 
, 
, 
. Тогда 
.
4.3.7. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности 
вокруг оси .
Решение. Площадь поверхности 
тора состоит из площади поверхности 
, образованной вращением верхней полуокружности 
, и площади поверхности 
, образованной вращением нижней полуокружности 
вокруг оси . Отрезок интегрирования 
. По формуле п. 4.2.1 запишем
. Учтем, что 
. Отсюда 
.
4.3.8. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды 
(
) вокруг полярного луча.
Решение. Косинус – четная функция, поэтому ось полярной системы координат является осью симметрии кардиоиды (рис. 4.1).
|
| Рис. 4.1 |
Ее верхняя и нижняя половины при вращении описывают одну и ту же поверхность, поэтому пределы интегрирования в формуле п. 4.2.3 выберем 
и 
, что соответствует верхней половине кардиоиды. Далее:
; 
. При 
и 
. Теперь запишем интеграл: 
.
Задачи для самостоятельного решения
4.4.1. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара 
плоскостями 
и 
.
4.4.2. Вычислить объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом 
и плоскостями 
и 
.
4.4.3. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом 
и плоскостью 
(
).
4.4.4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, , вокруг оси .
4.4.5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, , вокруг оси .
4.4.6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 
от 
до .
4.4.7. Вычислить объем и площадь поверхности тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
(
) и , вокруг оси .
4.4.8. Вычислить объем и площадь поверхности тела, образованного вращением фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды 
, 
и осью абсцисс, вокруг этой оси.
Ответы. 4.4.1. 
. 4.4.2. 
. 4.4.3. 
. 4.4.4. 
. 4.4.5. 
. 4.4.6. 
. 4.4.7. 
; 
. 4.4.8. 
; 
.
В)
