Задачи для самостоятельного решения

3.4.1. Определить длину окружности радиуса , используя ее уравнение в декартовых координатах: ; в параметрической форме: , , ; в полярных координатах: .

3.4.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых   и .

3.4.3. Окружность  разделена параболой  на две части. Найти площади обеих частей.

3.4.4. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой , .    

3.4.5. Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда  при одном его обороте, если началу движения соответствует . 

3.4.6. Вычислить длину цепной линии  между точками с абсциссами  и  ().

3.4.7. Найти длину эвольвенты окружности радиуса ,  от  до .   

Ответы. 3.4.1. . 3.4.2. . 3.4.3.   и . 3.4.4. . 3.4.5. . 3.4.6. . 3.4.7. .

 

 

Б)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

                                    

Объемы тел

4.1.1. Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений. Пусть дано тело, у которого площадь  любого сечения, перпендикулярного некоторой оси, которую мы примем за ось , является непрерывной функцией от

Тогда объем этого тела вычисляется по формуле

.

4.1.2. Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной двумя прямыми  и , осью  и графиком непрерывной на  функции  вычисляется по формуле

.

Площадь поверхности вращения

4.2.1. Площадь поверхности, образованной вращением дуги гладкой кривой  при  вокруг оси , вычисляется по формуле

.

4.2.2. Если кривая задана в параметрической форме , , , причем  и  – непрерывно дифференцируемые функции и на отрезке  выполняются условия  и , то площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси , определяется интегралом

.

4.2.3. Площадь поверхности, образованной вращением кривой , заданной в полярных координатах при , вокруг полярного луча, можно найти по формуле

.