Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

ЗАНЯТИЕ №2

ДИСТАНИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

А)

  ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

 

Площадь плоской фигуры

3.1.1. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ,  при  и, может быть, прямыми  и  (рис. 3.1), вычисляется по формуле .

Рис. 3.1	Рис. 3.2

 

В частности, площадь криволинейной трапеции (рис. 3.2), ограниченной прямыми линиями  и  (), осью  и графиком непрерывной на отрезке  функции , сохраняющей знак на этом отрезке, вычисляется по формуле 

.

Здесь выбирается знак , если , и знак , если .

Если функция задана в прямоугольных координатах параметрически, т. е. , , то площадь криволинейной трапеции определяется формулой , где  и  находятся из уравнений  и . Функция предполагается непрерывной, а функции  и  – непрерывными и сохраняющими знак на отрезке .   

Замечание. Иногда площадь фигуры выражают в виде суммы или разности площадей ее отдельных участков, удовлетворяющих указанным условиям.

3.1.2. Площадь в полярных координатах. Пусть криволинейный сектор ограничен дугой кривой  и двумя полярными радиусами  и  (рис. 3.3), а функция  непрерывна при . Тогда площадь криволинейного сектора выразится интегралом .

Рис. 3.3

Длина дуги плоской кривой

 

3.2.1. Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина дуги гладкой кривой , расположенной между двумя точками, абсциссы которых равны  и  определяется формулой .

 

Если функция задана в параметрической форме , , где  и  – непрерывно дифференцируемые на отрезке  функции, то длина дуги кривой между точками, абсциссы которых равны  и определяется формулой .

3.2.2. Длина дуги кривой в полярных координатах. Пусть дуга гладкой кривой задана в полярных координатах уравнением  от  до . Если  непрерывно дифференцируема на , то длина дуги кривой выразится интегралом .

Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

                                                 

3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и параболой .

 

Решение. Предварительно находим точки пересечения графиков:

. Числа  и  являются пределами интегрирования. Площадь  фигуры вычисляется по формуле п. 3.1.1:

.

Здесь мы учли, что на отрезке , и модуль под интегралом раскрывается со знаком .

 

3.3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Эллипс является замкнутой линией, симметричной относительно осей  и . Таким образом, площадь , ограниченная эллипсом, равна , где площадь криволинейной трапеции, ограниченной осями ,  и графиком функции , .

Площадь  записываем по формуле п. 3.1.1, а интеграл вычисляем с помощью тригонометрической подстановки  (см. [1], 23.3.3):

.

 

3.3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме .

Решение. Фигура является симметричной относительно осей координат (рис. 3.4), поэтому ее площадь в четыре раза больше площади ее части, расположенной в первом квадранте.

Граница фигуры задана в параметрической форме, поэтому для вычисления площади применим формулу п. 3.1.1, в которой положим , , , . Тогда .

 

Рис. 3.4	Рис. 3.5

 

3.3.4. Найти площадь фигуры, определяемой уравнением  (трехлепестковая роза).

Решение. Фигура состоит из трех одинаковых «лепестков». Площадь половины одного из них (рис. 3.5) определяется по формуле п. 3.1.2, где пределы интегрирования равны  и : .

3.3.5. Найти длину дуги параболы  от вершины до точки с абсциссой . 

Решение. Длина дуги определяется по формуле п. 3.2.1, где абсциссы концов дуги  и :

.

Первообразная в интеграле может быть вычислена с помощью метода, представленного в [1] (см. п. 26.3.1 и пример 26.4.7):

.

Дифференцируем обе части равенства и приводим к общему знаменателю:

.

 

 Теперь вычисляем определенный интеграл:

. Итак, .

3.3.6. Определить длину одной арки циклоиды

Решение. Циклоидой называется кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. В данном уравнении это радиус окружности, а параметр угол, на который поворачивается окружность. Начало координат совпадает с начальным положением фиксированной точки окружности, а ось  направлена по заданной прямой. Циклоида состоит из бесчисленного множества повторяющихся арок, каждая из которых получается при одном полном обороте окружности (рис. 3.6). Первая арка начинается в точке , которой соответствует значение параметра  равное , а заканчивается в точке , где значение параметра  равно .

 Длина дуги определяется по формуле, приведенной в п. 3.2.1:

.

Рис. 3.6	Рис. 3.7

 

 

3.3.7. Определить длину дуги гиперболической спирали  от точки  до точки  (рис. 3.7).

Решение. Длина дуги определяется по формуле  (см. 3.2.2). Так как  и , то  Вычислим полученный интеграл:

.

1) Первый интеграл табличный (см.[1], 22.3.15):

.

2) Во втором интеграле нужно применить подстановку  (см. [1], п. 26.3.2 и пример 26.4.8):

Окончательно, .