Розглянемо формулу (9.1)
(9.2)
Диференціалом функції y=f(x) називають головну лінійку по ∆x частину приросту (11.2) і записують так:
;
(9.3)
(9.4)
Застосування до наближених обчислень. Порівняння y з dy показє, що
Звідси
Ця формула застосовується для наближеного обчисленя значень функції при малому прирості x незалежної змінної x.
Геометричний зміст диференціала. Геометрично диференціал – це приріст ординати дотичної до кривої, проведеної в точці М(x,y).
Приклад: знайти диференціал функції
Похідні вищих порядків
Похідною другого порядку від функції y = f(x) називається похідна від її першої похідної,тобто
і т.д.
Для похідних n -го порядку справедливі наведені нижче формули. В них покладено, що u=u(x), v=v(x), C=const.
1.
2.
3. - формула Лейбніца. Тут , ,
Наведемо також вирази для похідних n –го порядку від деяких функцій:
8. Функція задана неявно та її похідна. Функція, задана у вигляді рівняння F(x; y) = 0 (9.5) називається заданою неявно.
Наприклад:
Правило знаходження похідної:
1. Знаходимо похідну лівої і правої частини, вважаючи х – аргументом , у – функцією від х:
у = у(х);
2. Одержане алгебраїчне рівняння розв’язуємо відносно відомого :
;
Похідні вищих порядків функції, що задана неявно. Нехай функція y=f(x) задана неявно рівнянням
F(x,y)=0
Продиференціювавши обидві частини цього рівняння по змінній x, вважаючи, що y=f(x), отримаємо рівняння першого степеня відносно , тобто
Звідси знаходимо .
Продиференціювавши обидві частини останнього рівняння по x, вважаючи, що y та функції від x,отримаємо рівняння відносно ,тобто
,
і т.д.
Похідна степенево-показникової функції.
Приклад:
Похідна функції, заданої параметрично.
Функція, задана системою рівнянь виду , де t називають заданою параметрично (t – параметр).
Наприклад:
Похідна другого порядку для функції, заданої параметрично:
Висновок:
Приклад. Знайти від функції, заданої параметрично