Диференціювання складних функцій

1. Якщо - диференційовна функція змінних    , які самі є диференційовними функціями незалежної змінної t:

                      

 

то похідна складної функції  обчислюється за формулою

                                                                                                                                                                        (2. 8)

 

Зокрема, для функції двох змінних u=f(x,y) де , ,

Маємо

                                                                (1. 9.1)

2.Якщо - диференційовна функція змінних ,де , …, -диференційовні функції змінної x₁ ,то маємо формулу повної похідної

 

                                                       (1.9.2)

крема, для функції трьох змінних u=f(x,y,z),де у = у(х), г = г(х), маємо формулу повної похідної

                                (1.9.3)

З. Якщо  де x_i = -диференційовані функції змінних t_j , .

                                                  (1.9.4)

Зокрема, для функції двох змінних z=f(x,y),де ), маємо

 

          

                                                                                                                                (1.9.5)

 

Приклад 7. Знайти наближене значення функції    

                                         

 

              В точці М₁(1,03 1,97).

Розв`язання. Потрібне значення заданої функції знайдено за формулою (6), Нехай  М₀(1,2), тоді

   

 

Підставимо ці значення у формулу (6), що одержимо.

Z(M)=13+6*0,03+14(-0,03)=13+0,18- 0,42=12,76

 

5

Похідна за напрямом.Похідною функції u = f(x,y,z) заданим напрямом  в точці M₀ називається границя , яка начинається  або       Тут

 

Отже, за означенням = .

 

Якщо функція диференційована,то має місце формула

де -напрямлені косинуси вектора  

 

    Аналогічно визначається похідна за напрямком для функцій двох змінних

z=f(x,y)

 

    де -напрямлені косинуси вектора  .

Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції за даним напрямком.

    Градієнт функції u=f(x,y,z) називається вектор,проекціями якого на координатні осі є відповідні частинні похідні даної функції

                      

 

 

Для функцій двох змінних u=f(x,y)

                       .

Градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в даній точці.

Похідна у напрямі градієнта має найбільше значення,тобто у напрямі =grad u:

 

 

Градієнт функції в кожній точці направлений по нормалі до відповідної поверхні рівня (лінії рівня).

6

 

    Диференціювання неявних функцій

1. Неявні функції однієї та багатьох змінних

Нехай функція задана неявно рівнянням

                   ,

Де F диференційовна функція змінних ,u. Тоді частинні похідні функції U по змінних  обчислюються за формулами

                               (1.9.6)

Зокрема, якщо функція y=y(x) задано рівнянням

           F(x,y)

Де F-диференційована функція змінних x,y,то      

                                  (1.9.7)

Аналогічно,частинні похідні функції z=          заданої неявно рівнянням

           F(x,y,z)=0

де F(x,y,z)-диференційована функція змінних x,y,z обчислюється за формулами:

               (1.9.8)

     2. Система неявних функцій

   Обмежимось розгляданням функцій двох незалежних змінних.

   Нехай система двох рівнянь

Визначає u і v як диференційовані функції змінних x і y якобіан

    Тоді диференціали du і dv  цих функцій (а отже і частинні похідні) можна знайти з системи рівнянь

                                           

Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функція z незалежних змінних x i y задана параметричними рівняннями

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),

то

 

    Тоді диференціал dz цієї функції (а отже, і частинні похідні)можна знайти з системи рівнянь

    Знаючи диференціал dz = pdx+qdy, знаходимо частинні похідні

 і .

34