Тема 5. Функція двох змінних

6 7 8 9 10 11 12

План

1. Означення функції двох змінних. Область визначення та графік.

2. Частинний та повний приріст функції.

3. Поняття частинної похідної І і ІІ порядків.

4. Повний диференціал та його застосування до наближених обчислень.

5. Похідна функції за напрямом, градієнт функції та зв’язок між ними.

6. Диференціювання неявних функцій.

Означення 1. Функцією двох змінних називається закон А згідно якого парі чисел (х;у) Є D є R₂ ставиться у відповідність число z, і записується

z= f(x; y). (5.1)

Аналогічно функція n-змінних: U=f(x₁;x₂….x _n)

Маємо: U=f(x; y; z) (5.2)

Областю визначення функції (5.1) називається Dc R₂ для кожної точки якої має зміст правило F.

Лінією рівня функції z називається лінія на площині хОу,в кожній точці якої функція приймає одне й те ж значення. Рівняння лінії рівня = с, с -стала.

Поверхнею рівня функції u = називається поверхня, в кожній точці якої функція приймає однакові значення. Рівняння поверхні рівня = с, с -стала.

Лінії рівня для функції (5.1) ¾ це сукупність кривих f(x,y)=const=C(1.3) (Z=C)

2 y -2 2 x -2

C=z=0 C=z=1

x²+y²=4 x²+y²=3

Кожній точці лінії рівня функції (5.1) приймає одне і те ж стале значення.

Для функції трьох змінних говорять про поверхні рівня в кожній точці яких функція приймає стале значення.

u=const або f(x,y,z)=const ¾ поверхні рівня u =x²+y²+z²

x²+y²+z²=const ¾ набір сфер зі спільним центром.

Приклад 1. Знайти область визначення D(f) функції z=f(x;y).Подати геометричне зображення множини: z=arcsin(x²-y²)

-1≤ x²- y ²≤ 1

D{(x; y): -1≤ x²- y ²≤ 1}

x²- y ²≤ 1

x²- y ²≥ -1

x ²- y ²=1 – гіпербола

0≤1

Приклад 2. Знайти область визначення D(f) функції z=f(x;y).Подати геометричне зображення множини: z=√9-x²-y².

9-х²-у²≥0

-х²-у²= -9

х²+у²= 9 – півсфера.

Графіком функції(1.1) є деяка поверхня в просторі R₃.

Зв’язок між поверхнею і графіком функції:

Проекція графіка функції на площину ХОУ співпадає з графіком.

Приклад 3.

Розв’язання:

Приклад 4. Знайти область визначення D наступних функцій:

a) ;

Розв`язання.

а) область визначення О даної функції - множина тих точок (х, у), для яких 4-х² —4y²>0,6о логарифмічна функція визначена тільки для додатних значень аргумента.

Щоб зобразити область £ > геометрично, знайдемо її межу

4-х² —4y²=0 або або

Це рівняння визначає в площині хОуеліпс з півосями а = 2 та b = 1. Даний еліпс ділить всю площину на дві частини. Для точок однієї з цих частин 4 - х² - 4у² > 0, для другої 4 - х² - 4у² < 0.

Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умові 4-х² -4у² > 0, достатньо перевірити цю умову для будь-якої однієї точки, яка не лежить на еліпсі. Наприклад, точка О(0,0) належить області D, бо 4 - О² - 4 • О² = 4 > 0.

Отже, внутрішніми точками області D даної функції є точки, обмежені еліпсом. Сам еліпс не належить області D тому, що для точок еліпса 4-х²-4y² = 0. Область D -відкрита область (мал.7.1). На мал.7.1 межа області позначена пунктиром.

б) область визначення D даної функції множина точок (х, у, z), для яких -х² -у² +2z > 0 або х² + у² =< 2z.

Межа цієї області х +у = 2z. Це рівняння параболоїда обертання. Параболоїд обертання ділить весь простір на дві частини, для точок однієї з яких х² + у² = <2z, для іншої х² + у² > 2z.

Для виявлення, яка з частин задовольняє умові х² + у² < 2z, візьмемо одну з точок, яка не лежить на параболоїді обертання, наприклад, точку (0,0,1). Ця точка належить області В, бо О² +0² < 2 ∙ 1.

Отже, областю D визначення даної функції є область, що міститься всередині параболоїда обертання, включаючи і його межу.

Повним приростом функції у точці називається величина

тут

Частинним приростом функції у точці по змінній називається величина

Для функції 5.1 розглянемо повний приріст. Можна довести, що приріст записується у вигляді

(1.4)

(1.5)

Границя та неперервність функції. Число А називається границею функції u = в точці,

якщо для будь-якого 0 існує таке 0, що для всіх точок,

які задовольняють умові

виконується нерівність

При цьому пишуть:

Функція називається неперервною в точці який виконуються умови:

1) функція визначена в точці

2)

Якщо в точці хоча б одна з вказаних умов порушується, то називається

точкою розриву функції Точки розриву можуть бути ізольованими, утворювати лінії

розриву, поверхні розриву, тощо.

Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї

області.

Частинні похідні. Частинною похідною функції u =

позмінюй

у точці

називається

границя

якщо вона існує.

Позначення: .

Таким чином,

= (1.3.1)

Для функції двох змінних z маємо:

= =

(2.2)

З означення випливає, що частинна похідна по змінній знаходиться у припущенні, що решта аргументів стала, а змінюється тільки аргумент . При цьому зберігаються всі правила диференціювання функцій однієї змінної. Тобто, щоб знайти частинну похідну , треба взяти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Частинними похідними другого порядку функції и = /(х₁,х₂,..-,х_п) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Наприклад,

Похідна називається мішаною частинною похідною другого порядку по змінних x_i. Xj Для функції двох змінних z = f(х,у) маємо похідні другого порядку

Аналогічно визначаються та позначаються частинні похідні порядку вище другого.

Мішані похідні, що відрізняються одна від одної лише послідовністю диференціювання, рівні між собою за умови їх неперервності. У цьому випадку кажуть, що результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання,

інних x_i. Xj

Приклад 5. Знайти величину найбільшої швидкості зміни функції

в точці М₀(1, 0, 3).

Розв`язання. Частинні похідні першого порядку в цьому випадку будуть

Величину найбільшої швидкості зміни заданої функції U в будь якій точці знайдемо за формулою (4):

Підставимо замість x,y,z координати точки М₀,тоді

(одиниць виміру)

Диференціал функції та його застосування. Функція u = називається

диференційовною в точці Р, якщо ЇЇ повний приріст може бути представлено у вигляді

u= (1.3.2)

де =

Повним диференціалам функції и = в точці Р називається головна частина

повного приросту функції , лінійна відносно приростів аргументів.

Повний диференціал визначається за формулою:

du=

або du= (1.3.3)

Тут враховано, що .

Для функції двох змінних

d= x+ y

або

d= d x+ dy. (1.3.4.)

Мають місце такі правила знаходження диференціалів:

d (u+-)=du+-d d(u)= du+ud  ,  0.

Тут u та - функції багатьох змінних. Повний диференціал використовується

в наближених обчисленнях. Враховуючи, що при малих значеннях р має

місце наближена рівність

маємо

або

(1.3.5.)

Зокрема,для функцій двох змінних z=f (x,y) маємо

(1.3.6.)

Формули (2.6), (2.7) використовуються в наближених обчисленнях

Диференціалом другого порядку від функції и=f (х_их₂,...,х_п) називається диференціал від її повного диференціала, тобто d²u=d(du)

Аналогічно визначаються диференціали порядку вище другого: d³u=d(d²u);взагалі d^mu=d(d^m-1u)

Якщо х_х,х₂,---,х„ - незалежні змінні і функція и=f (х₁,х₂,...,х_и) має неперервні частинні похідні, то диференціал т -го порядку виражається символічною формулою: