Геометрическое представление ФАЛ

Рис. 1-1.

Если наборам значений аргументов функции алгебры логики сопоставлять точки n-мерного пространства, то множество 2ⁿ наборов определяет множество вершин n-мерного единичного куба. Произведем разбиение множества вершин куба на такие два непересекающихся подмножества Т₀ и Т₁, что вершинам, относящимся к подмножеству Т₀, соответствуют наборы значений аргументов, на которых данная функция принимает значение 0, а

вершинам, относящимся к подмножеству Т₁, соответствуют наборы значений аргументов, на которых данная функция принимает значение 1. Тогда, введя специальные обозначения для элементов Т₀ и Т₁, мы можем геометрически

((c| )|(c ~ ))|(( + ) ( – ))=((c ) ( – )) (( | )| c)),

((c ) (c+ ))–(( – ) ( ~ ))=(( ) ( c)) (( ) (c )).

3. Воспользовавшись таблицами истинности, представьте логические выражения вашего варианта двух последних заданий в СПНФ. Затем произведите минимизацию методом карт Карно (результаты расчета проверьте с помощью таблиц истинности). Наконец, определите, к каким классам (P₀, P₁, S, M, L) относятся ваши логические выражения.

4. Докажите аналитическим путем справедливость трех предложенных выражений в каждом варианте.

1. ( A – B) + (C – D) = A + C, если A B = C D;

A B ( C) ( ) = 1;

(a ~ b) – (a | b) = a b.

2. (A – B) + (B – C) + (B – A) + (C – B) = A +C;

((A ) ( C)) (( B) (B )) = 1;

a b = (a + b) ~ (b – a).

3. (A – B) + (B – C) + (C – A) = (B – A) + (C – B) + (A – C);

((A B) – C) (A (B – C));

((a b) (a b)) + ((a a) (b b)) = a +b.

4. (A B) + (C D) = B + C, если A B = D, C D = A;

((B ) (A )) (( C) ( C)) = 0;

a c = (a (b c)) (a b) c).

5. (A – (B – C)) – ((A – B) – C) = A C;

(( ) ( C)) (( B) (B )) = 1;

( ( )) (a (b c)) = a .

6. (A B C) (A ) (A ) = A;

A B = A, если B = 1;

(a|(b|c)) + (b| (a| c)) + (c | (a | b)) =(a (b c)) (b (a c)) (c (a b)).

7. (A B) + (A C) + (B C) = (A B) + (A C) + (B C);

((A B) – C) ((A – C) (B – A));

((a b) (a | b)) ((a b) | (a +b)) = 1.

8. ((A B) C) ( ( )) = C;

(A – (B – C)) ((A – B) (B C));

a ((b – a) ~ b) = 0.

и т.д.

Используя таблицы, определяющие элементарные функции, можно задавать в виде таблицы любую функцию алгебры логики, являющуюся суперпозицией этих функций.

Таблица 1.

Аргументы	Значения аргументов				Обозначение ФАЛ	Название ФАЛ
	0	0	1	1
	0	1	0	1
№ ФАЛ
	0	0	0	0	Const 0	Константа 0
	0	0	0	1	& ,	Конъюнкция (логическое умножение)
	0	0	1	0		Запрет по , разность
	0	0	1	1		Переменная (повтор )
	0	1	0	0		Запрет по , разность
	0	1	0	1		Переменная (повтор )
	0	1	1	0	,	Сложение по модулю 2, кольцевая сумма (разделительное “или”)
	0	1	1	1		Дизъюнкция (логическое сложение)
	1	0	0	0	,	Стрелка Пирса (), операция Вебба (), антидизъюнкция
	1	0	0	1	~ ,	Эквивалентность (логическая равнозначность)
	1	0	1	0		Отрицание
	1	0	1	1	, ()	Импликация в (логическое следование)
	1	1	0	0		Отрицание
	1	1	0	1	, ()	Импликация в , (логическое следование)
	1	1	1	0	/ , \|	Штрих (операция) Шеффера (антиконъюкция)
	1	1	1	1	Const 1	Константа 1

2.3 Задачи и упражнения III ^го ТИПА *.

1. Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.

(a ( b)) (( ( d)) c)) (a (b )),

((a c) (a d)) (((c (c b)) ) ),

( d) (( c) (a c) ( ) (a )) (b d),

(a ) ( ) ( c) ( b) (b c),

(a ) ((b ) ( ) (d b) ( d)) (a ),