Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

 

11

Любая булева функции может иметь бесконечно много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

=p/z y x p z y z x,

=y z p x y/z p x y,

=z/x (y p (x y z)) x p,

=x y z p x y x/z y p,

=x/z p x p x z p y,

=x z y p x y z p/x z,

=y/p x y p z x z x,

=p y x z p y/z x p,

=p z (y x z) p/x z y x,

=x y z x (y z) y p/x,

=z/x p y x y z x p,

=y x z p y x y z/x,

=z y x/y z x y z p,

=x y z x p y/z x y,

=x y z p x y/x z y,

=p x y/z p y x z y p,

=x z p/z x y z p p y,

=z p x p y x/z y z,

=x y z x/y z p z x,

=x y p/y z y z p x,

=z p z/y x/z p y x,

=p y z p y/x y p y,

=p/y z p x z y x z y,

=z p/x z y p y x z,

=y x/z p x y z x p,

=p x z/p x y z p y,

=p z x y y/p z x p,

=x y z p z x/y p z,

28

=z y p z y p/x y z,

.

Аналогично для булевой функции получаем её представление в виде совершенной КНФ:

Приведенные теоремы позволяют сформулировать следующую теорему:

Теорема 6 (о функциональной полноте). Для любой булевой функции найдется формула , представляющая функцию .

Если , то существует представляющая ее формула , находящаяся в СДНФ:

и такое представление единственно с точностью до порядка следования конституент единицы. Если , то существует представляющая ее формула , находящаяся в СКНФ:

и такое представление единственно с точностью до порядка следования конституент нуля.

Указанная теорема дает возможность сформулировать алгоритм перехода от табличного задания функции к ее представлению в виде СДНФ(СКНФ).