Выражение одних элементарных функций через другие

Формулы и называются эквивалентными (), если совпадают их таблицы истинности. Для доказательства эквивалентности формул будем пользоваться единообразным методом: непосредственная проверка совпадения функций, образующих правую и левую стороны доказываемого соотношения.

Пример 1-3. Доказать эквивалентность:

0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

 

 

                                   (1 – 3)

Аналогично убеждаемся: .                                     (1 – 4)

&(               (1 – 5)

.                                                         (1 – 6)

                  (1 – 7)

Справедливость этой формулы вытекает из формул (1 – 4) и (1 – 5).

Формулы де Моргана: а)                                         (1 – 8)

33

8

 б)                                          (1 – 9)

 2. Аналитическим способом, т.е. на основе формул взаимосвязи между логическими операциями, докажите справедливость ниже приведенных тождеств. Затем с помощью диаграмм Эйлера – Венна подтвердите справедливость этого доказательства; представьте одно из выражений (предварительно его упростив) в базисе элементарных функции. В наборе номеров базисных функции должны фигурировать цифры вашего варианта. Например, для варианта 12 могут быть взяты следующие функции: , , . Недостающие функции отбираются на основе теории классов.

((a | b) | (a ~ b)) | ((c + d) (d – c)) =((d c) (a – c)) ((a|d) | (d )),

 ((a ) (b – c)) ((a | d) – (b  d)) = ((a | b) | (a + )) ((c + d) (d c)),

 ((a  b) (a + b)) – ((c–d) (c~d)) = ((c a)  (c b)) ((a d) (b d)),

 ((a ~ b) – (a  b))  ((c ~ d)  (c – d)) = ((c – a)  (c – b)) | ((a d) (b d)),

 ((a  b) (a + b)) – ((d – c)  (d ~ c)) = ((a c)  (b c)) ((a |d) | (b | d)),

 ((a  b) – (a + b)) ((c – d) (c ~ d)) = ((c – a) (c – b))  ((a  d) – (b d)),

 ((d b) ( – b)) ((c  a) | (d a)) = (( | d) | (c + d)) | ((a ~b) ( –b)),

 ((a | b) – ( + )) ((d – c) (c~ d)) = (( )  (b– ))  ((a b) – (b–c)),

 ((c – a) (c ~a)) – ((d – b)  (d ~ b)) = ((a  b)  (c b)) ((d – a) (c d)),

((c ~ b) – (b c)) ((  ~ ) (a – d)) = ((b d) (c d)) | ((a – b) (a – c)),

((a– d) (a ~ d)) – ((b – c) (b ~ c)) = ((b d) (a | b)) ((c d) | (a  c)),

((a d) (c d))  ((a b) – (a – c)) = ((b c) – (b + c)) ((a – d) (a ~ d)),

((c d) | (c+d)) | ((a~b) (a b)) = ((a ) (a–d)) ((b d)|(b )),

((b d) (b c))  ((d a) – (c–a))=((c | d) | ( ~ ))  ((a + b)  (b a)),

((d – a) (d ~ a)) – ((c– b) ( +b)) = ((a b) (d b)) ((c d)  (c – a)),

((c d) – (c ~ d)) ((a  b) (a + b)) = ((b c)  (b– d))  ((a | c) – (a – d)),

(( b) (d b)) ((a d) |(a c))=((c d) | (c~ d)) |(( + ) (a–b)),

((a c) (b– ))  ((c d) – (b – d))=((b | c) | (b ~ c)) ((a + d) (a d)),

((b ) ( +d)) – ((a –c) (a~c))=(( b) (d c)) ((a– b) (a  d)),

((d a) (b d)) | ((a – c)  (b–c)) = ((a + )– (b a)) (( ~ )  (d– c)),

((a b) ( ~b))–((c – d) (c~d))=(( d) ( b)) ((c a)|(c b)),

((c a) – (a+ )) ((d–b) (b~d))=((a b) (c – d))  ((d  a) – (c  d)),

задавать функцию алгебры логики. На рис. 1-1 вершины, относящиеся к подмножеству Т₁, зачерчены.