Стационарные случайные процессы

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свой­ство этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени пу­тем усреднения по совокупности выборочных функций, образующих случай­ный процесс. Рассмотрим, например, совокупность выборочных функций (называемую также ансамблем) (рис. 3.9), определяющую случайный процесс.

Среднее значение (первый момент) этого случайного процесса в мо­мент времени t ₁ можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выбороч­ных функций ансамбля в момент времени t ₁, сложив эти значения и разделив на число выборочных функций.

Следовательно, среднее значение μ_x (t ₁) случайного процесса { x (t)}, где

символ {} обозначает ансамбль выборочных функций, определяется форму­лой

                                    (3.12)

в которой суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций.

В общем случае, когда μ_x (t ₁), определенное уравнением (3.12), зависит от момента времени t ₁, случайный процесс { x (t)} называется нестационар­ным. В том частном случае, когда μ_x (t ₁) не зависит от момента времени t ₁, случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарного процесса постоян­но, а ковариационная функция зависит только от сдвига времени t.

Рис. 3.8.  Классификация случайных процессов

Свойство инвариантности статистических характеристик относительно произвольного момента времени используется для классификации случайных колебательных процессов. Все статистические характеристики случайного стационарного колебательного процесса инвариантны по отношению к мо­менту времени.

Таким образом, случайный стационарный процесс есть ан­самбль реализаций, статистические свойства которого инвариантны по от­ношению к переносу начала отсчета времени. Случайные стационарные ко­лебания служат удобной моделью реальных процессов, свойства которых достаточно медленно изменяются во времени.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение постоянно (не зависит от времени), а автокорреляция зависит только от временного сдвига. Обычно при определении среднего значения, корреляции и спектральной плотности мощности случайного про­цесса используют статистическое усреднение по ансамблю. Однако на прак­тике обычно не удается получить ансамбль реализаций требуемого процесса, по которому можно было бы вычислить эти статистические характеристики. Желательно оценивать все статистические свойства по одной выборочной реализации x (t), заменяя усреднение по ансамблю усреднением по времени. Свойство, позволяющее такую замену осуществить, называют эргодично­стью.

В общем случае для определения полного набора функций распределе­ния, задающих структуру случайного процесса { x(t)}, нужно вычислить бес­конечное число моментов и смешанных моментов высших порядков. В том случае, когда все моменты и смешанные моменты инвариантны во времени, случайный процесс { x (t)} называется строго стационарным или стационар­ным в узком смысле. Во многих приложениях проверка слабой стационарно­сти позволяет обосновать строгую стационарность.