Средняя линия треугольника, средняя линия трапеции

Задачи к устному экзамену в 8 классе

Четырёхугольники. (18 задач)

Параллелограмм. Свойства. Признаки.

№1. (А). Сумма трёх углов параллелограмма равна 246°. Найдите углы параллелограмма.

№2. (А). Биссектриса угла А параллелограмма АВСК пересекает сторону ВС в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если ВМ=7см, МС=3см.

№3. (В). Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСД пересекаются в точке О. Найдите периметр параллелограмма, если ОА=3см, ОВ=4см, ВС=6см.

№4. (В). Внутри треугольника АВС отмечена точка М, а на сторонах АВ и АС точки К и Н соответственно так, что отрезки АМ и КН имеют общую середину (точку О), ∠КМН=∠С. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

№5. (В). АВСД – параллелограмм. На прямой ВД отмечены точки М и Р так. Что ВМ=ДР=ВД. Докажите, что АМСР – параллелограмм.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Свойства.

№1. (А). В прямоугольнике АВСД ∠ВАС=35°. Найдите меньший угол между диагоналями.

№2. (А). Угол между диагоналями прямоугольника АВСД равен 30°.Найдите длину диагонали ВД, если точка С удалена от неё на 2 см.

№3. (А). Найдите углы ромба АВСД, если ∠ВАС=24°.

№4. (А). Найдите периметр ромба если его диагонали равны 10см и 24см.

№5. (А). Диагональ ВД квадрата АВСД равна 18,4см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная диагонали АС, пересекает прямые ВС и СД соответственно в точках М и Р. Найдите МР.

№6. (А). Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки равные 3 см и 12 см. Найдите длину меньшего основания.

№7. (А). В трапеции АВСД ∠В=110°, ∠Д=70°. Докажите, что АВ=СД.

№8. (А). В трапеции одна из боковых сторон равна высоте, а один из углов равен 55°. Найдите остальные углы этой трапеции.

№9. (В). На диагонали АС квадрата АВСД взята точка М так, что АМ=АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН=НМ=МС.

Средняя линия треугольника, средняя линия трапеции.

№1. (А). В треугольнике АВС точка М- середина АВ. На стороне ВС взята точка К, такая, что ∠А=∠ВМК. Найдите ВК и МК, если АС=10см, а КС=4см.

№2. (А). На боковой стороне АВ трапеции АВСД взяты точки М и К такие, что АМ=МК=КВ, а на стороне СД точки Н и Р, такие, что СН=НР=РД. Найдите длину КН и длину АД, если ВС=1см, а МР=5см.

№3. (В). Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

№4. (В). Докажите, что средняя линия равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте.

Теорема Пифагора. Площади. (9 задач)

№1. (А). В треугольнике АВС высота ВМ=24см, АМ=7см, ВС=40см. Найдите площадь и периметр треугольника АВС.

№2. Стороны параллелограмма равны 6см и 10см, а высота, проведённая к большей из них, равна 5см. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне.

№3. (А). Периметр ромба 40см, одна из диагоналей 12см. Найдите площадь ромба.

№4. (А). Высота трапеции в 3 раза больше одного из оснований, но вдвое меньше другого. Найдите основания и высоту, если площадь трапеции равна 168см².

№5. (А). Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 3см, и он равновелик квадрату, со стороной 6 см.

№6. (В). В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О. М делит АО в отношении 1:3, считая от точки А. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника АВМ равна 5см².

№7. (В). Найдите медиану, проведённую к гипотенузе, если один из катетов равен 6см, а площадь треугольника равна 24см².

№8*. (В). Меньшая сторона параллелограмма равна 29см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33см и 12см. Найдите площадь параллелограмма.

№9. (В). В равнобедренной трапеции АВСД (АД-основание) ∠А=30°, ∠АСД=135°, ВС=10см. Найдите периметр и площадь трапеции.

Подобие треугольников. (17 задач).

№1. (А). Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2см и 5 см. Площадь меньшего из них равна 8 см². Найдите площадь второго треугольника.

№2. (А). Стороны треугольника относятся как 4:5:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 96см.

№3. (В). Точки и лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС, причем ∥АС, ∥АВ. Найдите стороны четырехугольника , если АВ=10см, АС=15см, .