Связь временных характеристик с операторными и частотными характеристиками

Пусть входное воздействие имеет вид x (t) = d (t), в этом случае ре-

акция цепи по определению равна импульсной характеристики, т.е.

y (t) = h (t). Изображения воздействия и реакции при этом примут вид

X (s) = L[x(t)] = L[ d (t)] = 1,   Y(s) = L[ y (t)] = L[ h (t)].

Операторная характеристика по определению равна

H (s) = Y(s) / X(s).

Подставив в это выражение выражения для чить

X (s)

и Y(s), можно полу-

 

откуда

H (s) = L[ h (t)],

h (t) =

-1

L [ H (s)].

Следовательно, операторная характеристика является прямым преобра- зованием Лапласа от импульсной характеристики, а импульсная харак- теристика–обратным преобразованием от операторной характеристики.

Так как

h (t) = dg (t) / dt, то

 

где -

H (s) = L[h(t)] = L [ dg (t) / dt ] = s G (s),

G (s) = L [g(t)].

Откуда

 

Следовательно,

 

G (s) = H (s) / s

g(t) =

L ^-1[G(s)] =

L ^-1[ H (s) / s].

Для строго устойчивой цепи импульсная характеристика является абсолютно интегрируемой, поэтому комплексная частотная характери- стика (КЧХ) может быть получена из соответствующей операторной

характеристики подстановкой 𝑠 = 𝑗𝜔, т.е. H (j w) = H(s) │ 𝑠 = 𝑗𝜔.

Следовательно,

¥

H (j w =

- jwt  =                    = ¥     w jwt w  = -1    w.

) ò  h (t) e   dt F [h(t)], h (t) ò   H (j) e  d   F [H(j)]

0-                                                              -¥

Таким образом, последние выражения образуют пару преобразований Фурье: первая формула является прямым преобразованием Фурье им- пульсной характеристики, а вторая-обратным преобразованием КЧХ.

 

Определение реакции цепи при нулевом начальном состоянии с помощью переходной характеристики

Пусть цепь с одним входом

x (t)

и одним выходом y(t) описывает-

ся линейным оператором A _t, т.е. y(t) = A _t[ x (t) ]. Предположим, что

входное воздействие прилагается к цепи в момент времени t ₀. В этом

случае можно считать, что x (t) = 0, при t ˂ 0. Кроме того будем считать,

что

x (t)

может иметь скачок при

t = t ₀, а при t > t ₀

является непрерыв-

ной функцией времени. Представим входное воздействие с помощью единичных ступенчатых функций в следующем виде

t -

x (t) = x(t ₀ +)1(t- t ₀) +

ò

t 0 +

x ¢(t)1(t- t) d t, t ³ t ₀

Реакцию на это воздействие при нулевом начальном состоянии можно определить в явном виде с помощью оператора цепи

t -

y(t) = A_t [x(t)] = x(t ₀ +) A_t [1(t- t ₀)] +

ò

t 0 +

x ¢(t) A_t [1(t- t)]d t, t ³ t ₀

Так как величина

A_t [1(t- t ₀)] = g(t- t ₀), а величина

A_t [1(t- t)] = g(t- t),

то искомую реакцию можно представить в следующем виде

y(t) = A_t [x(t)] = x(t ₀ +) g(t- t ₀) +

t

ò

t 0 +

x ¢(t) g(t- t) d t, t ³ t ₀

Сделав в интеграле замену переменных, можно получить другое выра- жение для реакции

y(t) = A_t [x(t)] = x(t ₀ +) g(t- t ₀) +

t - t 0 +

ò

0

x ¢(t- t) g(t) d t, t ³ t ₀

Два последних выражения известны как интегралы Дюамеля.

Если

x (t)

имеет еще один скачок при

t = t ₁, то реакцию при t > t₁

можно определить по формуле

y(t) = x(t ₀ +) g(t- t ₀) +

 

t 1 -

ò

t 0 +

 

x ¢(t) g(t- t) d t +

t

+ [x(t ₁ +) - x(t ₁ -)]g(t- t ₁) +

ò

t 1 +

x ¢(t) g(t- t) d t.

Обобщая последнее выражение на случай, когда

x (t)

имеет скачки

в моменты времени

t ₀, t ₁, t ₂,..., можно получить следующее выраже-

ние для реакции при

t n -1 ˂ t ˂ t n

n -1

n -2

t k +1 -                                    t -

y(t) =

å D x (t _k) g(t- t _k) + å   ò

x ¢(t) g(t- t) d t + ò

x ¢(t) g(t- t) d t,

k =0

k =0

t k +

t n -1 +

где

D x (t _k) = x(t _k +) - x(t _k -)

- величина скачка при

t = t _k.

 

Определение реакции цепи при нулевом начальном состоянии с помощью импульсной характеристики

Представим входное воздействие с помощью единичных импульс- ных функций в следующем виде

t +

x (t) =

ò

t 0 -

x (t) d (t- t) d t, t ³ t ₀

Реакцию на это воздействие при нулевом начальном состоянии можно определить в явном виде с помощью оператора цепи

t +

y(t) = A_t [x(t)] =

ò

t 0 -

x (t) A_t [ d (t- t)]d t, t ³ t ₀

Так как величина

A_t [ d (t - t)] = h (t - t), то искомую реакцию можно

представить в следующем виде

y(t) = A_t [x(t)] =

t +

ò

t 0 -

x (t) h (t - t) d t, t ³ t ₀

Сделав в интеграле замену переменных, можно получить другое выра- жение для реакции

y(t) = A_t [x(t)] =

(t - t 0)+

ò

0-

x (t- t) h (t) d t, t ³ t ₀

Последние два интеграла называют интегралами свертки и также

интегралами Дюамеля. Эти интегралы выполняют преобразование

(сворачивание) двух функций времени

x (t)

и h (t)

в третью функцию

времени y(t). Свертку двух функций часто обозначают символически

y (t) = h (t) Ä x (t).

Вычисление интегралов свертки требует повышенного внимания, если сворачиваемые функции определяются различными формулами на разных участках их области определения. В этом случае для правильно- го выбора пределов интегрирования целесобразно использовать графи- ческую интерпретацию свертки, когда строятся графики подынтеграль- ных функций как функций переменной 𝜏 для типичных значений вре- мени t.

 

Примеры определения реакции цепи при нулевом