Начальном состоянии с помощью временных характеристик

16 17 18 19 20 21 22

6.5.1. Пример 1.

Определить напряжение на сопротивлении

u _R (t)

в последова-

тельной RC- цепи при входном напряжении

u (t)

в виде прямоугольного

видеоимпульса. Параметры цепи и видеоимпульса: R = 1 кОм,

C = 10 мкФ; амплитуда импульса E = 2 В, длительность импульса

t _И = 10 мс.

1. Определение временных характеристик.

1.1. Составление операторной схемы замещения.

1.2. Определение операторной характеристики (в данном случае опера-

торного коэффициента передачи по напряжению

H _UR (s))

H _UR (s) = U R (s) =

Z _R (s) = RCs

= t _cs,

U (s)

Z _R (s) + Z_C (s) 1 + RCs

1 + t _cs

где t _c

= RC = 10 ^-²

С – постоянная времени RC-цепи.

Импульсная характеристика будет равна

L [ H

é ù

h (t) = ^-¹

(s)] = L^-1 é

t _cs

ù = L-1 ê s ú .

ur UR

ê1 + t s ú

ê 1 ú

ë c û ê s +

êë

c úû

В последнем выражении порядок многочлена числителя равен порядку

многочлена знаменателя, поэтому необходимо разделить числитель на знаменатель, чтобы выделить целую часть.

s + 1

= 1 -

t _c.

s + 1

Откуда

t _c

é ù é

t _c

1 ù é 1 ù

hur

-1 ê

(t) = L ê

s ú = L^-¹ ê -

ú ê1

c 1 ú =

-1

L [1]

- L-1 ê

c 1 ú .

ê s + t ú ê

s + t

ú ê s + t ú

Так как

êë c úû êë c úû

é 1 ù

êë c úû

-1 -1 ê t ú

1 - t

L [1] = d (t) , L

ê c

ê s + 1

ú = e

ú t _c

c 1(t),

êë t _c úû

то

h_ur (t) = d (t) - 1

t _c

- t

e t c 1(t).

Переходная характеристика будет равна

é ù t

-1 é HUR (s) ù -1 é t c ù -1 ê 1 ú - t

g _ur (t) = L

ê ú = L ê ú = L ê ú = e

c 1(t).

ë s û ë1 + t _cs û ê s + 1 ú

êë t _c úû

2. Определение реакции цепи (напряжения u _R (t)).

Так как переходная характеристика

g _ur (t)

аналитически проще

чем импульсная характеристика

h_ur (t), то используем далее интеграл

Дюамеля, выраженный через переходную характеристику.

u _R (t) = [ u (0+) - u (0-)] g_ur (t) +

t -

ò u ¢(t) g _ur (t - t) dt +

+[ u (t _И +) - u (t _И -)] g_ur (t - t _И).

На интервале [0+, t _И -] производная от входного прямоугольного ви-

деоимпульса u ¢(t) равна нулю, поэтому интеграл в последнем выраже-

нии также будет равен нулю. Откуда

u _R (t) = [ u (0+) - u (0-)] g_ur (t) +[ u (t _И +) - u (t _И -)] g_ur (t - t _И) =

= Ee

- t

t c 1(t) - Ee

- t - t И

t c

1(t - t _И).

Получили тот же результат, что и ранее с помощью операторной харак- теристики. В числовой форме

u _R (t) = 2 е ^{-100 t}1(t) - 2 e ^-100(t^-0,01) 1(t - 0, 01) В.

Пример 2.

Определить ток

i _L (t)

через индуктивность параллельной RL-цепи

при входном токе

i (t)

в виде экспоненциального импульса

i (t) = Je ^- at 1(t), J = 2 А; a = 5×10⁴ C ^-¹.

Параметры элементов цепи: R = 1 кОм; L = 10 мГн. Схема анализируемой цепи приведена на рис.6.7а.

Рис.6.7. а – схема заданной цепи;

б – операторная схема замещения цепи.

1. Определение временных характеристик.

1.1. Составление операторной схемы замещения.

Операторная схема замещения изображена на рис.6.7б. Параметры ее

элементов:

Z _L (s) = Ls = 10 ^-² s

Ом;

Z _R (s) = R = 10³ Ом.

1.2. Определение операторной характеристики (в данном случае опера-

торного коэффициента передачи по току

H _IL (s))

H _IL (s) =

I _L (s) =

I (s)

Z _R (s) =

Z _R (s) + Z _L (s)

R + Ls

= 1,

1 + t _Ls

где t _L = L / R = 10 ^-⁵

С – постоянная времени RL-цепи.

1.3. Определение импульсной характеристики Импульсная характеристика будет равна

é ù t

-1 -1 é 1 ù 1 -1 ê 1 ú 1 - t

h_iL (t) = L [ H _IL (s)] = L

ê ú =

L ê ú =

e ^L 1(t).

ë1 + t _Ls û t _L

ê s + 1 ú t L

êë

1.4. Определение переходной характеристики Переходная характеристика будет равна

t _L úû

é ù

-1 é H _IL (s) ù

-1 é 1

ù 1 -1 ê 1 ú

g _iL (t) = L êë s úû = L

ê s (1 + t s) ú = t L ê æ 1 öú .

ë L û L

ê s ç s + ÷ú

ê è t L øú

Откуда

æ - t

g _iL (t) = ç1 - e t L

ë û

÷1(t).

ç ÷

è ø

2. Определение реакции цепи (тока Так как импульсная характеристика

i _L (t)).

h_iL (t)

аналитически проще

переходной характеристики

g _iL (t), то используем далее интеграл

Дюамеля, выраженный через импульсную характеристику.

t +

i _L (t) =

ò i (t) h_iL (t - t) dt.

В общем случае входное воздействие и импульсная характеристика мо- гут быть заданы разными формулами на отдельных интервалах време- ни. В таких случаях чтобы не ошибиться в определении пределов инте- грирования целесообразно использовать графическую интерпретацию

свертки. Временные диаграммы величин h_iL (t - t), i (t) как функций от

t при двух значениях t приведены на рис.6.2.

Рис.6.8. ── -

h_iL (t - t), t ˂ 0; ∙∙∙∙∙∙ -

h_iL (t - t), t > 0; - - - -

i (t).

Как следует из рис.6.8 при t ˂ 0 функции

h_iL (t - t), i (t)

не пересекаются

и их произведение равно нулю. В этом случае реакция i _L (t) = 0. При t >

0 функции h_iL (t - t), i (t) наложены друг на друга и их произведение не

равно нулю. При увеличении t функция h_iL (t - t) смещается вправо,

относительно «неподвижной» функции i (t) и их произведение отлично

от нуля. Интеграл свертки для каждого момента времени t интерпрети- руется как площадь фигуры образованной произведением функций

h_iL (t - t), i (t). Следовательно, при t > 0 реакция i _L (t) определиться

следующим образом

t + t

1 - t - t

1 - t t

t (1 - a)

i _L (t) =

ò i (t) h_iL (t - t) dt

= ò Je - at e

t L dt

= J e

t L ò e t L

dt =

- t

1 t

t ( 1

1 t

t _L

- a)

t _L

1 æ - at

- t ö

= J e

L e L = J

ç e - e

L ÷1(t).

t L (1

t _L

- a)

1 - at _L ç ÷

0 è ø

L (

Для нормированного времени J = t / t величина at = atJ, откуда

i (J) = J 1 e ^- at LJ

1 - at _L

- e ^- J )1(J).

В данном случае at _L = 5×10 ⁴10 ^-5 = 0,5 и выражение для реакции при- мет вид

i _L (J) = 4 (e ^-⁰^,5 J - e ^- J )1(J).

График функции

i _L (J)

изображен на рис.6.9.

Рис.6.9. Реакция цепи на экспоненциальный импульс.

6.5.3. Пример 3. Определить напряжение

u _L (t)

на индуктивности последователь-

ной RL-цепи при входном напряжении поненциального импульса

u (t)

в виде левостороннего экс-

u (t) = E e at 1(- t), E = 3 В; a = 2 ×10⁵ C ^-¹.

Параметры элементов цепи: R = 1 кОм; L = 10 мГн. Схема анализируемой цепи приведена на рис.6.10а.

Рис.6.10. а – схема заданной цепи;

б – операторная схема замещения цепи.

1. Определение временных характеристик.

1.1. Составление операторной схемы замещения.

Операторная схема замещения изображена на рис.6.4б. Параметры ее

элементов:

Z _L (s) = Ls = 10 ^-² s

Ом;

Z _R (s) = R = 10³ Ом.

1.2. Определение операторной характеристики (в данном случае опера-

торного коэффициента передачи по напряжению

H _UL (s))

H _UL (s) = U L (s) =

U (s)

Z _L (s) =

Z _R (s) + Z _L (s)

Ls R + Ls

= t _Ls,

1 + t _Ls

где t _L = L / R = 10 ^-⁵

С – постоянная времени RL-цепи.

1.3. Определение импульсной характеристики Импульсная характеристика будет равна

é ù

h (t) = ^-¹

-1 é

t _Ls ù

-1 ê s ú

uL L [ H_UL (s)] = L

ê1 + t

s ú = L ê

1 ú =

é 1 ù é

L û ê s +

êë

1 ù

L úû

-1 ê

t ú -1

-1 ê t ú

1 - t

= L ê1 -

L ú = L [1] - L ê L ú = d (t) -

e ^L 1(t).

ê s +

1 ú ê s + 1 ú t L

êë t _L úû êë t _L úû

1.4. Определение переходной характеристики.

Переходная характеристика будет равна

é ù t

-1 é HUL (s) ù -1 é t L ù -1 ê 1 ú - t

g _uL (t) = L

ê ú = L ê ú = L ê ú = e

L 1(t).

ë s û ë1 + t _Ls û ê s + 1 ú

êë t _L úû

Переходная характеристика будет равна

é ù t

-1 é HUL (s) ù -1 é t L ù -1 ê 1 ú - t

g _uL (t) = L

ê ú = L ê ú = L ê ú = e

L 1(t).

ë s û ë1 + t _Ls û ê s + 1 ú

êë t _L úû

2. Определение реакции цепи (напряжения u _L (t)).

Так как переходная характеристика

g _uL (t)

аналитически проще

импульсной характеристики

h_uL (t), то используем далее интеграл

Дюамеля, выраженный через переходную характеристику.

Для выбора пределов интегрирования в интеграле Дюамеля целе- сообразно изобразить графики подынтегральных функций

- t - t

e 1(

u ¢(t) = Ea at - t), g _uL (t - t) = e t L 1(t - t)

переменной t для типичных значений параметра t. Эти графики приве- дены на рис.6.11.

Рис.6.11.. ── -

g _uL (t - t), t ˂ 0; ∙∙∙∙∙∙ -

g _uL (t - t), t > 0; - - - -

u ¢(t).

Из данного рисунка следует, что при t ˂ 0 интеграл Дюамеля должен иметь вид

u _L (t) =

ò u ¢(t) g_uL (t - t) dt,

-¥

t ˂ 0.

Подставив в это выражение

u ¢(t) и

g _uL (t - t), можно получить

t - t - t

- t t

æ a + 1 ö t

at t t

ç t L ÷

u L (t) =

ò Eae e ^L dt = Eae

L ò e è ø

dt =

-¥ -¥

t æ 1 ö t

- t 1 ç a + t ÷ t

at at

= Eae

L e è L ø

= E e

1(- t).

a + 1

t _L

1 + at

-¥

Из рисунка 6.5 следует, что при t > 0 интеграл Дюамеля должен иметь

верхний предел, равный нулю, так как u ¢(t) = 0 при 𝜏 > 0. Кроме того

входное воздействие

u (t)

в момент времени t = 0

изменяется скачком,

поэтому в реакции должна появиться составляющая, пропорциональная переходной характеристике с коэффициентом пропорциональности равным величине скачка. Следовательно, реакция при t > 0 будет иметь вид

u _L (t) = ò

-¥

- t - t

e at e t L dt

+ [ u (0+) - u (0-)] g _uL (t).

Величина

u (0+)

= 0, а

u (0-) = E. Взяв интеграл аналогично предыду-

щему, можно получить

u _L (t) = E at e