2020-08-05
159
Определение. Если производная некоторой функции времени 𝑣(𝑡) выражается с помощью дельта – функций, то производная 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 называется производной в обобщенном смысле.
Если 𝑓(𝑡) – функция времени, заданная для 𝑡 ≥ 𝑡0, и дифференци- руемая в обобщенном смысле, то
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) ≡ −𝑓(𝑡 −)𝛿(𝑡 − 𝑡) + 𝑑
|
[1(𝑡 − 𝑡0)𝑓(𝑡)], (6.28)
|
𝑑𝑡
𝑓(𝑡), 𝑛 = 2,3, … 𝑛 определяются так:
𝑑2
𝑑𝑡2 𝑓
(𝑡)
= −𝑓
(𝑡0 −
)𝛿
(1)(𝑡 − 𝑡0)
− 𝑓
(1)(𝑡0 −
)𝛿
(𝑡 − 𝑡0) +
|
𝑑𝑡2
[1(𝑡 − 𝑡0
)𝑓(𝑡)], (6.29)
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛 𝑓
(𝑡)
= −𝑓
(𝑛−1)(𝑡0 −
)𝛿
(𝑡 − 𝑡0)
− ⋯ − 𝑓
(𝑡0 −
|
|
|
)𝛿
(𝑛−1)(𝑡 − 𝑡0) +
|
𝑑𝑡𝑛
[1(𝑡 − 𝑡0
)𝑓(𝑡)]. (6.30)
В выражениях (6.28 - 6.30) производная от произведения
1(𝑡 − 𝑡0)𝑓(𝑡) берется по правилу дифференцирования произведения обычных функций.
Пусть функция 𝑓(𝑡) определена на всей временной оси и имеет одну точку разрыва при 𝑡 = 𝑡0. Представим с помощью единичной ступенчатой функции функцию 𝑓(𝑡) в виде одного аналитического вы- ражения
𝑓(𝑡) = 1(𝑡0 − 𝑡)𝑓−(𝑡) + 1(𝑡 − 𝑡0)𝑓+(𝑡) ,
где 𝑓−(𝑡) левая ветвь функции 𝑓(𝑡), а 𝑓+(𝑡) – правая ветвь относительно точки 𝑡 = 𝑡0.
В этом случае производная функции 𝑓(𝑡) на интервале −∞ < 𝑡 < ∞ может быть найдена по правилам нахождения производной в обычном смысле
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑑
𝑑𝑡
[1(𝑡0
− 𝑡)𝑓−
(𝑡)] + 𝑑
𝑑𝑡
[1(𝑡 − 𝑡0
)𝑓+
(𝑡)] =
= 𝑓−
(𝑡) 𝑑
𝑑𝑡
1(𝑡0
− 𝑡) + 1(𝑡0
− 𝑡) 𝑑
𝑑𝑡
𝑓−
(𝑡) +
+𝑓+
(𝑡) 𝑑
𝑑𝑡
1(𝑡−𝑡0
) + 1(𝑡−𝑡0
) 𝑑
𝑑𝑡
𝑓+
(𝑡) =
|
|
= [𝑓+(𝑡0) − 𝑓−(𝑡0)]𝛿(𝑡 − 𝑡0) + 1(𝑡0 − 𝑡)𝑓(1)(𝑡) + 1(𝑡−𝑡0)𝑓(1)(𝑡).
− +
(6.31)
|
|
|
При выводе этого выражения были использованы следующие соотно- шения
𝑑
𝑑𝑡
1(𝑡0 − 𝑡) = −𝛿(𝑡0 − 𝑡) = −𝛿(𝑡 − 𝑡0), (6.32)
𝑑
𝑑𝑡
1(𝑡−𝑡0) = 𝛿(𝑡 − 𝑡0),
𝑑 𝑓−(𝑡) ≡ 𝑓(1)(𝑡) – производная от 𝑓
(𝑡) в обычном смысле,
𝑑𝑡 − −
|
𝑑𝑡
𝑓+(𝑡) ≡ 𝑓(1)(𝑡) – производная от 𝑓+(𝑡) в обычном смысле.
Для 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑑
|
𝑓(𝑡) = [𝑓+(𝑡0) − 𝑓−(𝑡0)]𝛿(𝑡 − 𝑡0) + 1(𝑡−𝑡0)𝑓(1)(𝑡),
что согласуется с выражением (6.28).
6.2. Временные характеристики цепи:
