2020-08-05
119
Модуль 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Производная и дифференциал
Приращением функции z = ¦(x, y) в точке (x, y) называется величина
Dz = ¦(x + Dx, y + Dy) – ¦(x, y),
где Dx, Dy – приращения независимых переменных. Частными приращениями по x и по y называются соответственно величины:
D х z = ¦(x + Dx, y) - ¦(x, y), Dyz = ¦(x, y + Dy) - ¦(x, y).
Частными производными функции z по x по y в точке (x, y) называются соответственно величины: 
(при условии, что эти пределы существуют). Для них приняты обозначения: 
.
Функция z = ¦(x, y) называются дифференцируемой в точке (x, y), если ее приращение в этой точке представимо в виде
Dz = A(x, y)Dx + B(x, y)Dy + o (r),
r = 
где о (r) – величина более высокого порядка малости по сравнению с r при r®0 (т.е. о(r)/r®0 при r®0). В этом случае в точке (x, y) существуют частные производные, причем z¢x =
= A(x, y), z¢y = B(x, y). Обратно, если функция имеет в точке (x, y) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.
! Если рассмотреть многомерную функцию полезности u (x1, x2, …,xn), то вектор составленный из частных производных функции полезности 
называют вектором предельной полезности.
|
|
|
Дифференциалом функции z = ¦(x, y) называется величина
dz = ¦¢x(x, y)Dx + ¦¢y(x, y)Dy. Полагая дифференциалы dx и dy независимых переменных равными соответственно Dх и Dу, имеем
dz = ¦¢x(x, y)dx + ¦¢y(x, y)dy.
Пример 38. Найти z¢x, z¢y от функции z = x2y-3xy4-1.
Решение. Считая у константой, имеем z¢x = 2xy -3y4, считая х константой, имеем z¢y = х2 12ху3.
Пример 39. Найти полный дифференциал функции z = 2xy - x2+y3.
Решение. Находим частные производные z¢x, z¢y:
z¢x = 2y - 2x; z¢y = 2x +3y2. Тогда dz = 2(y - x)dx + (2x +3y2)dy.
Сложная функция. Пусть z = ¦(x, y), причем x = x(u, v), y =
= y(u, v). Пусть для (u, v) Î D функции x(u, v), y(u, v) принимают значения, при которых функция z = ¦(x, y) определена. Тем самым на множестве D задается функция z(u, v) = ¦(x(u, v), y(u, v)), которая называется сложной функцией; при этом функция ¦(x, y) называется внешней, а x(u, v), y(u, v) – внутренними функциями.
Частные производные сложной функции находятся по формулам:
Пусть z = z (t, x, y), причем x = x (t), y = y (t). Тогда z, в конечном счете, зависит только от t. Производная 
вычисляется по формуле
Пример 34. Найти z¢t,если z = e xy, x = sint, y = lnt.
Решение. В начале составляем формулу
.
Тогда 
= уе ху, 
= хе ху, х¢t = cost, y¢t = 
. Следовательно,
z¢t = уе ху cost+ хе ху = te sin t (lnt×cost + 
).
Пример 35. Найти 
, если z = sin(u+v), где u = x2, v = y2.
Решение. Так как 
, 
, то вычисляя частные производные
= cos (u+v), 
= cos (u+v), 
= 2x, 
= 0, 
= 0, 
= 2y, получаем = cos (u + v)×2х + cos (u + v)×0 = cos (x 2+y 2)×2x,
аналогично = cos (x 2+y 2)×2у.
|
|
|
Вторые частные производные и вторые производные дифференциалы. Вторыми частными производнымифункции z = ¦(x, y) называются частные производные. Их обозначают так:
Производные z¢¢xy и z¢¢yx называется смешанными. Если в рассматриваемой точке смешанные производные непрерывны, то они равны в этой точке.
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.
Вторым дифференциалом функции z = ¦(x, y) называется выражение
d2z = d(dz) = (dz)¢xDx + (dz)¢yDy = z¢¢xx(Dx)2 + 2z¢¢xyDxDy + z¢¢yy(Dy)2.
Аналогично определяются величины d 3 z, d 4 z и т.д.
Пример 36. Дана функция z = x3 + 2x2y - 8xy2 + y3. Найти ее частные производные второго порядка.
Решение. Находим сначала первые производные:
z¢x= 3x2 + 4xy - 8y2, z¢y = 2x 2 - 16xy + 3y 2.
Пользуясь определениями и правилами дифференцирования, получаем z¢¢xx = 6x + 4y, z¢¢xy = 4x – 16y, z¢¢yy = -16x + 6y.
Пример 37. Дана функция z = ln (x2 + y2 + 2x + 1). Показать, что z¢¢xx + z¢¢yy 
0.
Решение. Найдем частные производные первого и второго порядка:
Составив сумму z¢¢xx + z¢¢yy вторых частных производных, убедимся, что она тождественно равна нулю:
Неявные функции и их дифференцирование. Уравнение
F(x, y) = 0, имеющее решение (x0, y0), определяет в окрестности x0 переменную y как непрерывную функцию x при условии, что производная F¢y(x, y) ¹ 0 и непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0). Если, кроме того, в окрестности этой точки существует непрерывная производная F¢x, то неявная функция y = y(x) имеет производную, определяемую по формуле
Рассмотрим теперь уравнение F(x, y, z) = 0, связывающие переменные x, y, z; при этом функция z = j(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные, которые определяются по формулам:
Пример 38. Найти частные производные функции
x2 + xsiny +2z + +ez = 0.
Решение: F¢x = 2x + siny; F¢y = xcosy; F¢z = 2 + ez, тогда частные производные равны 
7.2. Экстремумы функций нескольких переменных
Точка (x0, y0) называется точкой минимума (максимума) функций z = ¦(x, y), если в некоторой окрестности точки (x0, y0) функция определена и удовлетворяет неравенству ¦(x, y) > ¦(x0, y0) (соответственно ¦(x, y) < ¦(x0, y0)). Точка максимума и минимума называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума функция имеет первые частные производные, то они обращаются в этой точке в нуль. Отсюда следует, что для отыскания точек экстремума такой функции z = ¦(x, y) следует решить систему уравнений ¦¢x(x, y) = 0, ¦¢y(x, y) = 0. Точки, координаты которых удовлетворяют этой системе, называются критическими точками функции. Среди них могут быть точки максимума, точки минимума, а также точки, не являющиеся точками экстремума.
Достаточные условия экстремума используются для выделения точек экстремума из множества критических точек и перечислены ниже.
Пусть функция z = ¦(x, y) имеет в критической точке непрерывные вторые производные. Если в этой точке выполняется условие
D = ¦¢¢xx¦¢¢yy – (¦¢¢xy)2 > 0,
то она является точкой минимума при ¦¢¢xx > 0 и точкой максимума при
¦¢¢xx < 0. Если в критической точке D < 0, то она не является точкой экстремума. В случае D = 0 требуется более тонкое исследование характера критической точки, которая в этом случае может быть точкой экстремума, а может и не быть таковой.
Пример 39. Найти экстремум функции
f (x, y) = x2 + y2 – 4x + 6y +17.
Решение. Находим частные производные f ¢x = 2x – 4, f ¢y = 2y + 6, f ²xx = 2, f ²xy = 0, f ²yy = 2. Решаем систему
или 
Þ х = 2, у = -3.
Используя достаточные условия экстремума D = 2 × 2 - 0 = 4 > 0,
А = 2 > 0, делаем вывод, что точка М0 (2, -3) - точка минимума, причем min f (x, y) = f (2, - 3) = 4.
|
|
|
Нахождение наибольшего и наименьшего значения. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции z= f(x,y) в замкнутой области, нужно:
1) найти все стационарные точки внутри этой области, вычислить значение функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области;
3) из всех этих чисел выбрать соответственно наибольшее и наименьшее значение.
Пример 40. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f (x, y) = 3 – 2x2 – xy – y2 в замкнутой области, заданной системой неравенств: х £ 1, у ³ 0, у £ х.
Решение:
1. Область представляет собой треугольник ОАВ (рис.12), причем
О (0, 0), А (1, 0), В (1, 1). Находим стационарные точки внутри области:
f ¢x = - 4x – y, f ¢y = -x – 2y; f ¢x = 0, f ¢x = 0, f ¢y = 0, при х = 0, у = 0;
f (0, 0) =3.
2. На стороне ОА: у = 0, 0£ х £ 1 функции z = f (x, 0) = 
3 – 2x2 зависит от одной переменной х; z¢ (x)= -4x, z²(x) = -4, z¢(x) = 0 при х = 0; z²(0) = -4<0, x=0 – точка максимума: z (0) = f (0, 0) = 3.
3. На прямой АВ: х = 1, 0£ у £ 1, функция z = f (1, y) = 3 – 2 – y – y2 =
= 1 – y – y2 зависит только от y; z¢ (y) = -1 – 2y, z ¢ (y) = 0 при
y = -1/2, но эта точка не принадлежит отрезку АВ.
4. На стороне ОВ: у = х, 0 £ х £ 1 функция зависит только от х: z = f (x, x) = 3 – 2x2 – x2 – x2 = 3 – 4x2, z ¢(x) = -8x, z ²(x) = -8, z = 0 при х = = 0, z ²(0) = -8 < 0, f (0, 0) = 3.
Вычисляем значения функции в точках А и В: f (A) = f (1, 0) = 1,
f (B) = f (1, 1) = -1.
Следовательно, в заданной области наименьшее значение данной функции равно –1, а наибольшее равно 3.
