2020-08-05
98
Пусть х = j (t), где j (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Тогда формула замены переменной в этом случае имеет вид
f(x)dx = f [j (t)] j¢ (t)dt.
Пример 46. Найти интеграл 
Решение:
= 
Пример 47. Найти интеграл 
Решение:
Ответ должен быть выражен через старую переменную 
. Подставляя в результат интегрирования 
, получим 
Пример 48. Найти интеграл 
Решение:
Пример 49. Найти интеграл 
Решение:
Пример 50. Найти интеграл 
Решение:
. Возвращаясь к старой переменной, получим
9.3. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
= 
– 
,
где = j(х), = y (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x.
При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, например, для интегралов вида
где 
- многочлен, за u следует принять , а за dv - соответственно выражение 
для интегралов вида
|
|
|
за u принимаются соответственно функции 
а за dv - выражение 
Пример 51. Найти интеграл 
Решение:
= 
. По формуле интегрирования по частям находим 
Пример 52. Найти интеграл 
Решение:
= 
. Отсюда по формуле интегрирования по частям находим: 
