Замена переменной в неопределенном интеграле

         Пусть х = j (t), где j (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Тогда формула замены переменной в этом случае имеет вид

 f(x)dx =  f [j (t)] j¢ (t)dt.

    Пример 46. Найти интеграл

    Решение:

 

=

     Пример 47. Найти интеграл

     Решение:

Ответ должен быть выражен через старую переменную . Подставляя в результат интегрирования , получим

      Пример 48. Найти интеграл

      Решение:

       Пример 49. Найти интеграл

    Решение:

     Пример 50. Найти интеграл

     Решение:

. Возвращаясь к старой переменной, получим

9.3. Интегрирование по частям

      Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

 =  – ,

где = j(х),  = y (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x.

 При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида

где  - многочлен, за u следует принять , а за dv - соответственно выражение  для интегралов вида

 за u принимаются соответственно функции а за dv - выражение

      Пример 51. Найти интеграл

      Решение:

= . По формуле интегрирования по частям находим

      Пример 52. Найти интеграл

      Решение:

= . Отсюда по формуле интегрирования по частям находим: