Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площади. Если криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу кривыми у =f (x), y = g(x), cбоку прямыми х = а и х = в, то имеем

S= (27)

Если фигура задана параметрическими уравнениями

х = φ(t), y = ψ(t), t₁ t₂, то

S= (28)

Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат и задана уравнением ρ=f(φ), то

S= (29)

Пример 70. Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:

1) параболой 4у = 8х - и прямой 4y = х -6;

2) эллипсом х = a cos t, y = a sin t;

3) кардиоидой ρ = а(1+ cos φ).

Решение:

1. Совместно решая данные уравнения, определим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую площадь, А , В(6; 3).

Построим эти точки и проходящие через них данные линии (рис. 13). Видим, что искомая площадь ANB равна разности площадей и . Площадь S криволинейной трапеции , прилежащей к оси О , выражается интегралом

S = ydx = dx = =

Площадь S трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = = .

Следовательно, искомая площадь

S = S - S = - = .

2. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса и поэтому они делят его на четыре Рис.13 одинаковые части. Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первом квадранте, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси О : S= . Пользуясь данными параметрическими уравнениями эллипса, преобразуем интеграл к переменной t, y = b sint, dx = -a sin t dt, если х = 0, то t = ; если х = а, то t = 0; S = 4 = - 4ab sin t dt =2ab (1-cos2t)dt=2ab(t - sin2t =

= πab.

3. Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом полярного радиуса r при изменении полярного угла φ от 0 до π:

S = 2 ×1/2 = a × = a² = a ×

× = a =

= .

Длина дуги плоской кривой. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнениями y = f(x), х = F(х) или параметрическими уравнениями х = φ(t), y = ψ(t), то дифференциал dl длины её дуги, выражается формулой

dl = dx = = ,

а длина дуги АВ определяется формулой

L = = = = . (30)

Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат и задана уравнением ρ=f(φ), то dl= ,

L = = (31)

Пример 71:

1) Вычислить длину дуги полукубической параболы y = (х-1)

между точками А(2;-1) и В(5;-8).

2) Одной арки циклоиды х = (t - sint), y = a(1 - cost).

3) от до

Решение:

1. Разрешаем данное уравнение относительно y и находим y':

y = ; y'= (знаки в выражении y указывает, что кривая симметрична оси О ; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси О ).

Подставляя в формулу (30), получим

L = = =

= = 7,63.

2. Дифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды

и находим дифференциал ее дуги

dl = = a

= .

Одна арка циклоиды получается при изменении параметра t от 0 до 2π, поэтому

L = 2a = 8a.

3. Имеем Следовательно, по формуле (31) имеем

L= = =

10.3. Несобственный интеграл

Несобственным интегралом называется: 1) интеграл с бесконечными пределами; 2) интеграл от неограниченной функции:

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности - расходящийся.

Аналогично, ;