Модуль 9. Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование

     Функция F (х) называется первообразной для функции f (x), если F ¢ (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. Если функция f (x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении

F (х) + С,

Где С – постоянная.

    Неопределенным интегралом от функции f (x) (или от выражения f (x) dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: f (x) dx = F (х)+C. Здесь ò - знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

   Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1^°. ( f (x) dx)^¢ = f (x).

     2^°. d ( f (x) dx) = f (x) dx.

     3^°.  dF (x) = F (х) + C.

     4^°.  af (x) dx = a  f (x) dx, где а – постоянная.

    5^°.  [ f₁ (x) ± f₂ (x)] dx =  f₁ (x) dx ±  f₂ (x) dx.

    6^°. Если  f (x) dx = F (x) + C и u = j (x), то  f(u) du = F (u) + C

    Таблица основных неопределенных интегралов:

1. .                            7. .

2. .                8. .

3. .                      9. .

4. .                  10. .

5. .                      11. .

6. .               12. .

                                                     13. .

      Пример 44. Найти интеграл  (x³- 5x² + 7x - 3) dx.

      Решение. Используя свойства 4^° и  5^°, получаем

    К первым трем интегралам правой части применим формулу (2), а к четвертому интегралу – формулу (1) таблицы интегралов:

       Пример 45. Найти интеграл ( + ) .

    Решение:

( + )²  = ( )  = ( )  =

= +  = = +С.