Модуль 9. Векторный анализ

    Скалярное и векторное поле. Если каждой точки М области V поставлено в соответствие некоторое число u(М) (некоторый вектор F(M)), то говорят что в V задано скалярное поле (векторное поле).

  Если введены декартовы координаты, то понятие скалярного поля совпадает с понятием функции трех или двух переменных: u = u (x,y,z) или u = u (x,y), а в векторном поле F(M) можно представить как совокупность трех функций: F(M) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

   Производная по направлению. Для изучения поведения поля 

z = ¦(x, y) в точке М₀(x₀, y₀) в направлении вектора  следует через М₀ провести прямую с направляющим вектором   и исследовать функцию z(t) в точке М₀ (т.е. при t = 0 характеризует скорость изменения поля в этой точке в направлении ). Если величину z ¢(0) разделить на , то получим производную по направлению  данного скалярного поля в данной точке:

где .

    Вычисление производной по направлению производится с помощью следующей формулы:

    , где cos a, cos b - направляющие косинусы.

    Градиент скалярного поля. Градиентом скалярного поля u(M) называют вектор

grad u = .

  Величина grad u определяется формулой

.

  В декартовой системе координат производная по направлению вектора а вычисляется по формуле

,

a, b, g - углы, образованные вектором а с осями координат.

   Если вектор а имеет направление grad u, то

.

   Пример 41. Дана функция z = xy². Найти производную в точке

А (0,5;0,5) в направлении градиента функции.

   Решение. Так как  то = y²i +2xyj, следовательно, _a= ;

Направляющие косинусы градиента следующие: cos .

Следовательно,  т.е. .

     Пример 42. Дана функция z = xy. Найдем ее производную в точке Р (5, 1) в направлении от этой точки к точке Q (7, -1).

     Решение. Находим частные производные функции z = xy и вычисляем их значения в точке Р:

.

     Так как вектор PQ имеет координаты {2,-2}, то |PQ| = =

=2 , а его направляющие косинусы .

    Следовательно, . Знак минус означает, что функция z в этом направлении убывает.

     Пример 43. Найти величину и направление градиента скалярного поля z = x³ +y³ - 2xy в точке М₀ (2,1).

     Решение. Находим частные производные функции z:

-2х, их значения в точке М₀:

.

Получаем (grad z)_M = 10i - j, а величина градиента .