Историческая справка

Дисциплина: ОДП.02 Математика

Группа: ТПОП-19

Дата: 02.06. 2020

Преподаватель: Кулага Т.Ф.

Задание: Ф ото выполненной работы прислать по адресу: kitdistergo@mail.ua kitdisttpop@mail.ua. или VK https://vk.com/feed

 (Название файла с ответами: № занятия, дисциплина, группа, Фамилия, имя, студента).

Например: Иванов И.И., ТПОП -19, Математика

 Сроки выполнения: 03.06.2020

Задания для дистанционного обучения будут выдаваться в день проведения занятия, согласно расписанию и подмен по адресу: https://s3320.nubex.ru/5989/ или VK https://vk.com/ ТЭЭО-19, https://vk.com/ ТПОП-19

Мотивация  

 «Открытие дифференциального и интегрального исчислений

невозможно было бы без фантазии»

(Г.В. Лейбниц)

Историческая справка.

Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления. С элементами дифференциального исчисления мы познакомились в 10-м классе, впереди – изучение интегралов.

 «интеграл»- «интегрирование» - «интеграция» Однокоренные слова, вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». В газетах мы читаем об интеграции наук, культур, интеграции экономики, политики также ведут речь об интеграционных процессах.

 Идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления, еще на заре развития математики. Греческие математики Евдокс (IV в.до н.э.), а затем Архимед (III в. до н.э.) для решения задач на вычисление площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно уменьшающихся частей и искомую площадь (или объем) вычислять как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

Идея Евдокса и Архимеда была гениальной. Говоря современным языком, искомую величину предлагалось вычислять как предел бесконечно большого числа бесконечно малых ее частей. Однако реализация этой идеи была чрезвычайно сложна, т.к. появилась за 19 веков до построения теории пределов, метода координат и даже просто буквенного исчисления. И все же с помощью этой идеи Архимед получил формулы объема пирамиды, шара и т.д.

На протяжении следующих 19 столетий идея вычисления целого как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых его частей. Не раз возникала в умах многих ученых. Особенно «богатыми» оказались 16 и 17 века. Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Бонавентура Кавальери Блез Паскаль, Пьер Ферма и другие мыслители разрабатывали и применяли эту идею в самых разных задачах, ранее не поддававшихся решению.

Великий немецкий астроном и математик И.Кеплер (1572-1630) решил задачу об измерении объема бочек, которую до него не рассматривал ни один из математиков прошлого.

Г.Галилей (1564-1642) подсчитывал путь, пройденный при равноускоренном движении, суммируя бесконечно малые отрезки пути, пройденные за бесконечно малые промежутки времени.

Б. Кавальери (1598-1647), ученик Г. Галилея, не только вычислял объемы отдельных тел, но и создал «метод неделимых», который до сих пор известен в геометрии как принцип Кавальери.

Однако только во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предыдущим развитием математики и остро востребованные к тому времени наукой и обществом, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему в работах двух великих ученых: английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого математика, физика и философа, юриста, дипломата, организатора и первого президента берлинской Академии Наук Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

Они обобщили все, что лежало в основе решенных задач и создали стройную систему понятий и выработали алгоритмы, по которым можно вычислять. Главная формула так и называется: «формула Ньютона – Лейбница»

Г. Лейбниц ввел в науку термин «интеграл» (от латинского слова «интегер» - «целый») и обозначения интеграла в виде вытянутой буквы S (первой буквы слова Summa), производной в виде .

Итак, дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.

Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.

Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.