Силовская p-подгруппа

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Необходимые определения

Пусть — конечная группа, а — простое число, которое делит порядок . Подгруппы порядка называются -подгруппами. Выделим из порядка группы примарный делитель по , то есть , где не делится на . Тогда силовской -подгруппой называется подгруппа , имеющая порядок .

Теоремы

Пусть — конечная группа. Тогда:

Силовская -подгруппа существует.
Всякая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе. Все силовские -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде , где — элемент группы, а — силовская подгруппа из теоремы 1).
Количество силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю () и делит порядок .

Следствие

Если все делители , кроме 1, после деления на дают остаток, отличный от единицы, то в есть единственная силовская -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

СОПРЯЖЁННЫЙ ЭЛЕМЕНТ ГРУППЫ

СОПРЯЖЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ к элементу. группы G - элемент х' такой, что

x'=g ^-1 xg

для нек-рого элемента gиз G. Говорят также, что х' получается на хтрансформированием при помощи элемента g. Для С. э. используется иногда степенное обозначение: x^g.
Если А к В два подмножества группы G, то через А ^B принято обозначать множество

Множество где g - нек-рый фиксированный элемент из G, наз. сопряженным с множеством Мв группе G. В частности, две подгруппы. и Vназ. сопряженными п о д-гр уппами, если U=V^g для нек-рого gиз G. Если подгруппа Н=Н ^g для любого элемента (т. е. Нсодержит все элементы, сопряженные с ее элементами), то Нназ. самосопряженной подгруппой в G,или нормальным делителем.

КЛАСС СОПРЯЖЁННОСТИ

Класс сопряженных элементов группы F, состоящий из вещественных элементов, называется вещественным. [1]

Это указывает соответствие между классами сопряженных элементов группы % и множествами свободно гомотопных замкнутых геодезических пространства R, если пространство К - прямое. [2]

Если А оставляет неподвижным некоторый класс сопряженных элементов группы Я, то А оставляет на месте некоторый элемент этого класса. [3]

Тогда, если А есть класс сопряженных элементов группы GI, a Л2 - класс сопряженных элементов группы G2, то всевозможные произведения вида а а2, где а А, а2еЛ2, образуют класс сопряженных элементов самой группы G, и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы G получается таким образом. [4]

Пусть G H содержится в некотором классе сопряженных элементов группы С. [5]

Все подобные друг другу перестановки вида а0асто, образующие класс сопряженных элементов группы S (N), имеют одинаковую структуру циклов. [6]

Пусть универсальное накрывающее пространство R пространства R - прямое и пусть Sk ь St принадлежит к классу сопряженных элементов группы, определенному классом кривых, свободно гомотопных К. Замкнутая геодезическая (свободно гомотопная К, существует тогда и только тогда, когда Sft есть осевое движение. [8]

Можно считать, что nl - 1, так как единица составляет класс. Элемент af составляет класс сопряженных элементов группы G тогда и только тогда, когда он принадлежит центру Z группы G. [10]

Все элементы одного класса сопряженных элементов, согласно сказанному выше, отвечают одной и той же орбите. Таким образом, устанавливается взаимнооднозначное соответствие между классами сопряженных элементов группы и периодическими орбитами. [11]

Поэтому такой элемент а характеризуется тем фактом, что он коммутирует со всеми элементами х алгебры: ах ха. Применяя термин, перенесенный из теории групп в алгебру, мы можем сказать: те элементы, чьи компоненты зависят только от класса сопряженных элементов группы, содержащего аргу мент s, образуют центр алгебры. [12]

Доказать, что: а-д 5, Ь - Ь, с - с - внешний автоморфизм группы G, который переводит каждый класс сопряженных элементов группы G в себя. [13]

Далее, сумму (8.4.19) можно представить, как сумму по классам сопряженных элементов [ рп ], где индекс р задает все примитивные элементы, а п фиксирует все их повторения, а также элементы каждого класса. Сумма по элементам классов сопряженных элементов может быть вычислена явно. В результате функция Грина будет представлена в виде суммы по классам сопряженных элементов группы, т.е. по примитивным орбитам. [14]

А обозначим через а образ элемента а в группе А при рассматриваемом представлении. Пусть ср - функция, отображающая группу А в некоторое кольцо многочленов над полем рациональных чисел, причем эта функция постоянна на классах сопряженных элементов группы А. Как обычно, функцию ср назовем функцией класса для группы А. Предположим, что группа А имеет. У, взятые по одному из каждой орбиты.

ИДЕАЛ КОЛЬЦА

Для кольца идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца называется такое подкольцо кольца , что

произведение (условие на правые идеалы);
произведение (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

Свойства

Левые идеалы в R являются правыми идеалами в т.н. противоположном кольце — кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определенным , и наоборот.
Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:

Для всякого гомоморфизма ядром является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: изоморфен факторкольцу (факторалгебре) .

В кольце целых чисел все идеалы главные и имеют вид , где .
Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).

ГЛАВНЫЙ ИДЕАЛ КОЛЬЦА

Определение

Левый идеал кольца называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения , , для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый , обозначают через .

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

Если же — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных и . Идеал , порождённый многочленами и , (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ; тогда на него должны делиться и . Это возможно, только если — ненулевая константа. Но в только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Примеры

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов и как порождающий элемент идеала .