Определения и концепции

Пусть V — векторное пространство над полем F. Для примера, предположим, что V — это R ⁿ или C ⁿ, стандартное n -мерное пространство векторов-столбцов над полем вещественных или комплексных чисел соответственно. В данном случае идея теории представлений заключается в том, чтобы конкретизировать абстрактную алгебру использованием матриц n × n, элементами которых являются вещественные или комплексные числа.

Существует три вида алгебраических объектов, для которых это возможно: группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли.

Множество всех обратимых матриц n × n является группой по умножению матриц, и теория представлений групп анализирует группу, описывая (представляя) её элементы терминами обратимых матриц.

Сложение и умножение матриц делает множество всех матриц n × n ассоциативной алгеброй, и, следовательно, есть соответствующая теория представлений ассоциативных алгебр.

Если мы заменим матричное умножение MN матричным коммутатором MN — NM, то матрицы n × n заменят алгебру Ли, что приводит к созданию теории представлений алгебр Ли.

Это обобщается на любое поле F и любое векторное пространство V над F с заменой линейных отображений матрицами и заменой композиции отображений матричным умножением: получим группу GL(V, F) автоморфизмов над V, ассоциативную алгебру End _F (V) всех эндоморфизмов над V и соответствующую алгебру Ли gl (V, F).

Определение

Существует два способа определить представление. Первый использует идею действия группы, обобщая способ матрицы воздействовать на вектор-столбец с помощью матричного умножения. Представление группы G или алгебры A (ассоциативной или Ли) на векторном пространстве V — это отображение

с двумя свойствами. Во-первых, для любых g из G (или a из A), отображение

линейно (над F).

В зависимости от представленной группы различают разделы теории представлений:

конечные группы — См. Теория представлений конечных групп.
топологические группы — некоторые построения для представлений конечных групп можно обобщить и для бесконечных групп. Для локально компактных топологических групп это можно сделать с помощью меры Хаара. На результирующей теории во многом основан гармонический анализ, а также современное изложение общей теории Фурье.
группы Ли — многие группы Ли являются компактными. Соответственно к ним можно применить теорию представлений компактных групп.

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Определение

Пусть — заданная группа и — векторное пространство. Тогда представление группы — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование причем выполняются свойства

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы и знакопеременной группы играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Типы представлений

Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
Представление группы называется приводимым, если в векторном пространстве есть подпространство, отличное от нулевого и самого инвариантное для всех преобразований В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
Представление называется регулярным, если — пространство функций на группе и линейное преобразование ставит в соответствие каждой функции функцию
Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве над полем , если все преобразования являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве (над полем ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве произвольное эрмитово скалярное произведение и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой
Если ― топологическая группа, то под представлением обычно понимается непрерывное линейное представление группы в топологическом векторном пространстве.

Примеры

Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор где Таким образом получается -мерное представление группы
Неприводимое двумерное представление группы можно получить, выбрав в плоскости базис положив вектор и определив для каждой перестановки линейное преобразование , переводящее в и в

МОДУЛЬ

Мо́дуль над кольцо́м — одно из основных понятий в общей алгебре, являющееся обобщением двух алгебраических понятий — векторного пространства (фактически, векторное пространство — это модуль над полем), и абелевой группы (которая является модулем над кольцом целых чисел ).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

алгебраическая геометрия,
гомологическая алгебра,
теория представлений групп.

Мотивировка

В векторном пространстве множество скаляров образует поле и умножение на скаляр удовлетворяет нескольким аксиомам, таким как дистрибутивность умножения. В модуле же требуется только, чтобы скаляры образовывали кольцо (ассоциативное с единицей), аксиомы же остаются теми же самыми.

Значительная часть теории модулей состоит из попыток обобщить на них известные свойства векторных пространств, иногда для этого приходится ограничиваться модулями над «хорошо ведущими себя» кольцами, такими как области главных идеалов. Однако в целом модули устроены более сложно, чем векторные пространства. Например, не в каждом модуле можно выбрать базис, и даже те, в которых это возможно могут иметь несколько базисов с различным числом элементов (в случае некоммутативного кольца).

Определения

Пусть — кольцо (как правило, считающееся коммутативным c единичным элементом). -модулем называется абелева группа с операцией умножения на элементы кольца

которая удовлетворяет следующим условиям:

Примечание: В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются левыми. Правыми модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие 1) заменено следующим:

что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца при умножении справа от элемента модуля:

отсюда и терминология.

В случае коммутативного кольца R определения левого и правого модуля совпадают и их называют просто модулями.

Любое кольцо R можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

Примеры

Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
Линейное пространство над полем является модулем над .
Линейное пространство — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований
Дифференциальные формы на гладком многообразии снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на .
Если I — левый идеал кольца R, он будет левым модулем над этим кольцом. Аналогично, правые идеалы будут правыми модулями.

ПРИМИТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Примитивным элементом конечного поля называется всякий первообразный корень степени , то есть всякий генератор мультипликативной группы этого поля.

Свойства

Если — примитивный элемент поля , то любой другой примитивный элемент может быть получен как степень , где k — целое число, взаимно простое с . Поэтому количество различных примитивных элементов в поле равно значению функции Эйлера .
Минимальный многочлен примитивного элемента поля называется примитивным многочленом над полем .