Алгебраическое определение

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются и или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам

1. 
   (идемпотентность)
2. 
   (коммутативность)
3. 
   (ассоциативность)
4. 
   (поглощение).

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

,

,

и обратно. При этом для любых элементов и эквивалентны следующие утверждения:

;

;

.

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решётки в решётку не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

ДИСТРИБУТИВНАЯ РЕШЁТКА

Дистрибутивная решётка — решетка, в которой справедливо тождество

равносильное тождествам

и

Дистрибутивные решётки характеризуются тем, что все их выпуклые подрешётки служат смежными классами конгруэнций. Всякая дистрибутивная решётка изоморфна решётке подмножеств (но не обязательно всех) некоторого множества. Частным случаем дистрибутивных решёток являются импликативные решётки, например, булевы алгебры. В дистрибутивных решётках для любого конечного множества выполняются равенства

и

а также

и

где — конечные множества, а — множество всех однозначных функций , ставящих в соответствие элементу из элемент из . В полной дистрибутивной решётке указанные равенства имеют смысл и в случае бесконечных множеств и . Однако справедливы они не всегда. Полные дистрибутивные решётки, удовлетворяющие последним двум тождествам для любых множеств и , называются вполне дистрибутивными.

БУЛЕВА АЛГЕБРА

Булевой алгеброй ^[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

В нотации · + ¯ [показать]

Первые три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

		дополнение 0 есть 1 и наоборот
		законы де Моргана
.		инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

		1 коммутативность, переместительность
		2 ассоциативность, сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции	3 дистрибутивность, распределительность
		4 комплементность, дополнительность (свойства отрицаний)
		5 законы де Моргана
		6 законы поглощения
		7 Блейка-Порецкого
		8 Идемпотентность
		9 инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания
		10 свойства констант
дополнение 0 есть 1	дополнение 1 есть 0
		11 Склеивание

Примеры

• Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

a 0 1 a 1 0

• Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

• Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

• Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨:= ∪ (объединение), ∧:= ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

• Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
  A = { e ∈ R: e ² = e, ex = xe, ∀ x ∈ R },
  тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f:= e + f − ef и e ∧ f:= ef.

ФИЛЬТР

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.