- Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
- Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
- Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
- Лупа — квазигруппа с единичным элементом , таким, что .
- Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
- Моноид — полугруппа с единичным элементом.
- Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a −1, такой, что .
- Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').
Кольца
- Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
- Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
- Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: .
- Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
- Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
- Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
- Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
Алгебры
|
|
- Алгебра (линейная) — пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой пространства
- Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
- Алгебра термов
- Коммутативная алгебра
- Градуированная алгебра
- Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби
- Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби
- Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:
- Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: и тождеством эластичности:
- Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами
- Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:
- Коммутантно-ассоциативная алгебра
- Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.
Решётки
- Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
- Булева алгебра.
МНОГООБРАЗИЕ
Линейным многообразием в линейном пространстве называется подмножество этого пространства вида
|
|
для каких-то фиксированных подпространства и вектора , то есть подмножество, полученное сдвигом каждого элемента из на вектор . Обозначение:
Если и , то тогда и только тогда, когда и .
В частности, является линейным подпространством тогда и только тогда, когда (т.е. содержит нулевой элемент). В этом случае .
Если — гильбертово пространство, а — его замкнутое подпространство, то можно выбрать вектор в определении () ортогональным подпространству . Такое представление , единственно.
Пересечение линейных многообразий всегда является линейным многообразием.
Размерность линейного многообразия — это размерность линейного подпространства : Для линейных многообразий в -мерном векторном пространстве или , или
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ
алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида
где - к.-л. предикатный символ из или знак равенства, а - термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к, вациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс -систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений.
Пересечение всех многообразий сигнатуры , содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс -систем, наз. эквациональным замыканием класса (или многообразием, порожденным классом > и обозначается . В частности, если класс состоит из одной -системы , то его эквацп-ональное замыкание обозначают . Если система конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии также конечны [1], [2].
Пусть - нек-рый класс -систем, - класс подсистем систем из - класс гомоморфных образов систем из - класс изоморфных копий декартовых произведений систем пз . Для произвольного непустого класса -систем имеет место соотношение (см. [1], [2]):
РЕШЁТКА
Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Примеры
- множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; например: ;
- всякое линейно упорядоченное множество; причём если , то ;
- множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где — пересечение, а — сумма соответствующих подпространств;
- множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: , если для некоторого . Здесь — наименьшее общее кратное, а — наибольший общий делитель данных чисел;
- вещественные функции, определённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием , если для всех . Здесь
, где .