Пусть — топологическое пространство и — фильтр на множестве . Точка называется пределом фильтра , если любая окрестность точки принадлежит фильтру . Обозначение: . Для фильтра , порожденного базой , равенство выполняется тогда и только тогда, когда любая окрестность целиком содержит некоторое множество из .
В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела.
Точка называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра , если принадлежит замыканию любого множества из , т.е. для всех . Равносильно, для любой окрестности точки и для любого выполнено . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.
В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.
Примеры
- Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
- Если — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
- Если — бесконечное множество мощности , то множество дополнений множеств мощности тоже является фильтром.
УЛЬТРАФИЛЬТР
Ультрафильтр на решётке — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Определение
Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от ) фильтре.
Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если
- для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
- для любого элемента , все его надмножества лежат в
- для любого подмножества либо , либо
Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах , заданную как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .