2020-08-05
121
Пусть 
— топологическое пространство и 
— фильтр на множестве 
. Точка 
называется пределом фильтра , если любая окрестность 
точки 
принадлежит фильтру . Обозначение: 
. Для фильтра , порожденного базой 
, равенство выполняется тогда и только тогда, когда любая окрестность целиком содержит некоторое множество из .
В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела.
Точка называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра , если принадлежит замыканию любого множества из , т.е. 
для всех 
. Равносильно, для любой окрестности точки и для любого выполнено 
. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.
В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.
Примеры
- Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
- Если — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
- Если — бесконечное множество мощности
, то множество дополнений множеств мощности 
тоже является фильтром.
УЛЬТРАФИЛЬТР
Ультрафильтр на решётке 
— это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Определение
Собственный фильтр на решётке 
является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от ) фильтре.
Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если
-
- для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
- для любого элемента , все его надмножества лежат в
- для любого подмножества
либо 
, либо 
Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах 
, заданную как 
, если 
, и 
в противном случае, то 
является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .
