Определение в рамках теории решёток

Подмножество решётки называется фильтром, если

для всех ,
для всех и таких, что ,

Фильтр называется собственным, если .

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр называется простым, если в нём для всех из того, что , следует, что либо , либо .

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом .

Если фильтр, то является идеалом.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества можно определить решётку его подмножеств . Тогда фильтр на определяется как подмножество , удовлетворяющее следующим условиям:

пересечение любых двух элементов лежит в
надмножество любого элемента лежит в

Фильтр вида называется фильтром, порожденным множеством . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть — фильтр на множестве . Семейство подмножеств называется базой (базисом) фильтра , если любой элемент фильтра содержит некоторый элемент базы , т.е. для любого существует такое, что . При этом фильтр совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база порождает фильтр

Для того, чтобы семейство подмножеств множества являлось базой некоторого фильтра на необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

;
;
для любых существует такое, что .

Две базы и называются эквивалентными, если любой элемент содержит в себе некоторый элемент , и наоборот, любой элемент содержит в себе некоторый элемент .

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве заданы два фильтра и . Говорят, что фильтр мажорирует фильтр ( сильнее , тоньше ), если . В этом случае также говорят, что фильтр мажорируется фильтром ( слабее , грубее ).

Говорят, что база сильнее базы , и записывают , если любой элемент содержит в себе некоторый элемент . База сильнее базы тогда и только тогда, когда фильтр , порожденный базой , сильнее фильтра , порожденного базой .