Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

любой главный фильтр является ультрафильтром
подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории , состоящее из теорем

Свойства

ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто.

УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЕ

Пусть — язык. — семейство алгебраических систем, . Прямым произведением алгебраических систем , , называется алгебраическая система , где для каждого предикатного символа

для каждого ;

для каждого функционального символа

и для каждого константного символа

Пусть — фильтр над . Определим на отношение . Введём обозначения:

Определим алгебраическую систему следующим образом.

Положим для предикатного символа

для каждого функционального символа

и для константных символов

Определённая таким образом алгебраическая система называется фильтрованным произведением систем по фильтру и обозначается . Если — ультрафильтр, то называется ультрапроизведением, если все совпадают и равны , то называется ультрастепенью и обозначается .

Основное свойство ультрапроизведений состоит в том, что они сохраняют все предложения:

Теорема Лося. Пусть — язык, — семейство алгебраических систем языка , — ультрафильтр над . Тогда для любой формулы языка и любой последовательности элементов из